שינויים

תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow 0to0</math>. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

 טור מתכנס בתנאי הינו הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\geq ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

כיוון כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפסל-0. לכן

<math>\fracdfrac{|a_nb_na_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0to0</math>

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_nb_na_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_nb_ndisplaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.

כיוון כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac{1}dfrac1{a_n}</math>לא חסומה או לא -מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ל-0 ולכן הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר.

<math>a_n=\dfrac{(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\fracdfrac1n</math> מתבדר. ==3=====א===[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7|פתרון]] ===ב===<math>2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n</math> ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס <math>2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math> ולכן מתכנס. ===ג===[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]] ===ד===[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]] ===ה===נפעיל את מבחן המנה: <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>  נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל: <math>\begin{align}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1\end{align}</math> ולכן הטור מתכנס. ==4=====א===מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ. ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''. ===ב===הטור מתבדרשכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר. ===ג===הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> .