שינויים

==1==[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow 0</math>. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]]

טור מתכנס בתנאי הינו הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\geq ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

כיוון כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפסל-0. לכן

<math>\fracdfrac{|a_nb_na_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0to0</math>

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_nb_na_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_nb_ndisplaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.

כיוון כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac{1}dfrac1{a_n}</math>לא חסומה או לא -מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ל-0 ולכן הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר.

<math>a_n=\dfrac{(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac{1}{n}dfrac1n</math> מתבדר.

 <math>2^n+(-1)^n2^n\leq 2le2\cdot 2cdot2^n</math>

<math>2\sum (displaystyle\fracsum_{2}{3n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math> ולכן מתכנס

<math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fracdfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...\cdots}}}</math>

 <math>\begin{align}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+...\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+...\cdots}}{\cdotsqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1\end{align}

<math>\frac{2-\sqrt{2+ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} <1</math>

ולכן הטור מתכנס.  ==4=ג===הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> .