שינויים

תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow 0to0</math>. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

 טור מתכנס בתנאי הינו הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\geq ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

כיוון כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפסל-0. לכן

<math>\fracdfrac{|a_nb_na_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0to0</math>

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_nb_na_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_nb_ndisplaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.

כיוון כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac{1}dfrac1{a_n}</math>לא חסומה או לא -מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ל-0 ולכן הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר.

<math>a_n=\dfrac{(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac{1}{n}dfrac1n</math> מתבדר.

 <math>2^n+(-1)^n2^n\leq 2le2\cdot 2cdot2^n</math>

<math>2\sum (displaystyle\fracsum_{2}{3n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math> ולכן מתכנס

<math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fracdfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...\cdots}}}</math>

\begin{align}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...\cdots}}}=\cdotfrac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+...\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1\end{align}

מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ. ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.

הטור מתבדר שכן סכום איבריו אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו אבריו החיוביים מתבדר.

הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math>.