שינויים

תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow to 0</math>. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

 טור מתכנס בתנאי הינו הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\geq ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

כיוון כיון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפסל- <math>0</math>. לכן

<math>\frac{|a_nb_na_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow to 0</math>

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum |a_nb_na_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_nb_na_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.

כיוון כיון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac{1}frac1{a_n}</math>לא חסומה או לא -מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ל- <math>0</math> ולכן הטור <math>\sum\frac{1}frac1{a_n}</math> מתבדר.

<math>a_n=\frac{(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac{1}frac1{n}</math> מתבדר.

 <math>2^n+(-1)^n2^n\leq le 2\cdot 2^n</math>

<math>2\sum \bigg(\frac{2}{3}frac23\bigg)^n</math> ולכן מתכנס

<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...\cdots}}}</math>

<math>\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=</math>

 <math>\frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...cdots}}}}= </math>  <math> \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...cdots}}}}\leq le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...\cdots}}}{\sqrt{2}sqrt2} <1</math> 

ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.

הטור מתבדר שכן סכום איבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו החיוביים מתבדר.

הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\sum\frac{1}frac1{n^2}</math>.