הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
שורה 3: שורה 3:
  
 
==1==
 
==1==
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum a_n</math> הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\to 0</math> . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
+
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא התכנסות הסדרה <math>a_n\to0</math> . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
  
 
טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
 
טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
שורה 12: שורה 12:
  
 
===ב===
 
===ב===
כיון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל- <math>0</math>. לכן
+
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן
  
<math>\frac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to 0</math>
+
<math>\dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0</math>
  
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum |a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.
+
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.
  
 
===ג===
 
===ג===
 
הוכחה:
 
הוכחה:
  
כיון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל- <math>0</math> ולכן הטור <math>\sum\frac1{a_n}</math> מתבדר.
+
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\dfrac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר.
  
 
===ד===
 
===ד===
 
הפרכה:
 
הפרכה:
  
<math>a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac1{n}</math> מתבדר.
+
<math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\dfrac1n</math> מתבדר.
  
 
==3==
 
==3==
שורה 33: שורה 33:
  
 
===ב===
 
===ב===
<math>2^n+(-1)^n2^n\le 2\cdot 2^n</math>
+
<math>2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n</math>
  
 
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
 
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
  
<math>2\sum \bigg(\frac23\bigg)^n</math>
+
<math>2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math>
  
 
ולכן מתכנס.
 
ולכן מתכנס.
שורה 50: שורה 50:
 
נפעיל את מבחן המנה:
 
נפעיל את מבחן המנה:
  
<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>
+
<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>
  
 
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
 
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
  
<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=</math>
+
<math>
 
+
\begin{align}
 
+
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\
<math>\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=</math>
+
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1
 
+
\end{align}
 
+
</math>
<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1</math>
+
  
 
ולכן הטור מתכנס.
 
ולכן הטור מתכנס.
שורה 66: שורה 65:
 
==4==
 
==4==
 
===א===
 
===א===
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
+
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
  
 
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.
 
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.
  
 
===ב===
 
===ב===
הטור מתבדר שכן סכום איבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו החיוביים מתבדר.
+
הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.
  
 
===ג===
 
===ג===
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\sum\frac1{n^2}</math> .
+
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> .

גרסה אחרונה מ־05:32, 19 ביוני 2017

בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב

1

תנאי הכרחי להתכנסות הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n הוא התכנסות הסדרה a_n\to0 . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

2

א

ברור כי \max\{a_n,b_n\}\ge a_n ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

ב

כיון שהטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן

\dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n| מתכנס, כלומר הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n מתכנס בהחלט.

ג

הוכחה:

כיון שהטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה \dfrac1{a_n} לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n} מתבדר.

ד

הפרכה:

a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} מתכנס לפי לייבניץ, אבל a_n^2=\dfrac1n מתבדר.

3

א

פתרון

ב

2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n

ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס

2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n

ולכן מתכנס.

ג

פתרון

ד

פתרון

ה

נפעיל את מבחן המנה:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}

נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:


\begin{align}
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1
\end{align}

ולכן הטור מתכנס.

4

א

מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.

ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור מתכנס בתנאי.

ב

הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.

ג

הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2} .