88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

תנאי הכרחי להתכנסות הטור \sum a_nהוא התכנסות הסדרה לאפס a_n\rightarrow 0. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.


טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

2

א

ברור כי max\{a_n,b_n\}\geq a_n ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

ב

כיוון שהטור \sum a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן

\frac{|a_nb_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור \sum |a_nb_n| מתכנס, כלומר הטור \sum a_nb_n מתכנס בהחלט.

ג

הוכחה:

כיוון שהטור \sum a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה \frac{1}{a_n}לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור \sum\frac{1}{a_n} מתבדר.

ד

הפרכה:

a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} מתכנס לפי לייבניץ, אבל a_n^2=\frac{1}{n} מתבדר

3

א

פתרון

ב

2^n+(-1)^n2^n\leq 2\cdot 2^n

ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס

2\sum (\frac{2}{3})^n

ולכן מתכנס


ג

פתרון


ד

פתרון

ה

נפעיל את מבחן המנה:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}

נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:


\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=



\frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} <1


ולכן הטור מתכנס.


4