88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לרשימת הנושאים

חסמים

הגדרה: תהי U סדורה ותהי תת-קבוצה A\subseteq U , אזי:

  • M\in U נקרא חסם מלעיל של A אם \forall a\in A:a\le M
  • m\in U נקרא חסם מלרע של A אם \forall a\in A:a\ge m
  • חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A
  • חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A
  • חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל- A חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)
  • חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל- A חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)

שימו לב לשלילות הבאות:

  • M אינו חסם מלעיל אם"ם קיים אבר a>M
  • m אינו חסם מלרע אם"ם קיים אבר a<m
  • M אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.
  • m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.


אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים - לכל A\subseteq\R חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).

ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים מ- \sqrt2). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר ל- \sqrt2 הקטן ממנו (שכן \sqrt2 עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.


משפט.

תהי A\subseteq\R חסומה מלעיל אזי:

  • M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל \varepsilon>0 קיים a\in A כך ש- a>M-\varepsilon
  • m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל \varepsilon>0 קיים a\in A כך ש- a<m+\varepsilon


במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו 0 נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש אבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

הוכחה.

נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש- M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי

\forall\varepsilon>0,\exists a\in A:a>M-\varepsilon

נניח בשלילה כי קיים \varepsilon>0 כל שלכל האברים a\in A מתקיים a\le M-\varepsilon .

לכן, לפי ההגדרה M-\varepsilon הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיון שאפסילון גדול מ-0, M-\varepsilon הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון M , בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.


תרגיל.

תהי A=\left\{\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\Big|n\in\N\right\} מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים).

ראשית, נביט במספר אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: A=\left\{-1,2\dfrac14,-1\dfrac89,2\dfrac1{16},\ldots\right\}

אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הנו תמיד חסם עליון אם הוא קיים), ואנו מעריכים כי 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה.

  • נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל n טבעי מתקיים
\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le2+\dfrac14

עבור n=1 זה ברור. אם n\ge2 ניתן לומר

\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le\dfrac1{n^2}+2\le2+\dfrac14
  • כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים:
\dfrac1{n^2}+2(-1)^n>-2

אבל

\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\dfrac1{n^2}-2>-2
  • כעת נוכיח כי בנוסף, לכל \varepsilon>0 קיים אבר a בקבוצה כך ש- a<-2+\varepsilon .

יהי \varepsilon>0 , צ"ל n טבעי כך ש:

\dfrac1{n^2}+2(-1)^n<-2+\varepsilon

מכיון שצריך להראות שקיים n טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי-זוגי. לכן ננסה למצוא

\begin{align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}<-2+\varepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2<-2+\varepsilon\\2k+1>\sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align}

תמיד ניתן למצוא k טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.


לכן הוכחנו כי -2 הנו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום

  • נוכיח כי החסם התחתון -2 אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים n טבעי כך ש:
\dfrac1{n^2}+2(-1)^n=-2

אבל כבר הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים ל-2-.