הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים"

גרסה מ־20:01, 16 באוקטובר 2011

הגדרה: תהי U סדורה ותהי תת קבוצה $A\subseteq U$ , אזי:

$M\in U$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$
$m\in U$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$
חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A
חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A
חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)
חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)

שימו לב לשלילות הבאות:

M אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר a>M
m אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר a<m
M אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.
m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים - לכל $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).

ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים משורש שתים). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר לשורש שתים הקטן ממנו (שכן שורש שתים עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.

משפט. תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:

M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$
m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$

במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

הוכחה. נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי

\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon

נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$ .

לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפ

תרגיל. תהי $A=\{\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n|n\in\mathbb{N}\}$ מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים).

@@ שורה 33: / שורה 33: @@
 נניח בשלילה כי קיים <math>\epsilon >0</math> כל שלכל האיברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\leq M-\epsilon</math>.
-לכן, לפי ההגדרה, <math>M-\epsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, זה חסם '''קטן ממש''' מ-M בסתירה לכך ש-M הינו חסם המלעיל הכי קטן (זו ההגדרה של חסם עליון).
+לכן, לפי ההגדרה, <math>M-\epsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפ
-בכיוון השני, נניח כי M חסם מלעיל וגם <math>\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon</math>.
+'''תרגיל.''' תהי <math>A=\{\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n|n\in\mathbb{N}\}</math> מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים).
-יהי N חסם מלעיל כלשהו של A, נניח בשלילה כי <math>N<M</math>. אזי, לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\epsilon</math> אבל N חסם מלעיל ולכן מתקיים <math>N\geq a>M-\epsilon</math>. לכן למעשה מתקיים <math>M-N<\epsilon</math> לכל אפסילון חיובי.
-בפרט, זה מתקיים עבור <math>\epsilon = M-N</math> (הרי הנחנו בשלילה שM-N הינו מספר חיובי) ולכן קיבלנו את הסתירה <math>M-N<M-N</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים"

גרסה מ־20:01, 16 באוקטובר 2011

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים