=הגדרות בסיסיות של טורים=
באופן בלתי פורמלי, טור הינו הנו '''סכום אינסופי''' של מספרים. נשאלת השאלה, האם סכום אינסופי של מספרים חיוביים עשוי להיות קטן ממספר סופי?
נענת התשובה - כן. לדוגמא, ניקח עוגה (או פאי). נחלק חצי מהעוגה לתלמיד המצטיין, חצי ממה שנשאר (רבע) ניתן לתלמיד הבא אחריו. חצי ממה שנשאר (שמינית) ניתן לתלמיד הבא אחריו. אחד חלקי שש עשרה יקבל התלמיד הבא וכן הלאה.
כמובן שלא נוכל לחלק יותר מאשר '''עוגה אחת''' ממנה התחלנו. לכן, אינטואיטיבית, <math>\frac{1}{2}dfrac12+\frac{1}{4}dfrac14+\frac{1}{8}dfrac18+... \leq 1cdots\le1</math>
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' <math>S^{a_n}</math> של סדרה <math>a_n</math> כלשהי להיות <math>S^{a_n}_N = a_1+a_2\cdots+...a_N</math>.
כלומר,
::<math>\begin{align}S^{a_n}_1=a_1</math>::<math>\\S^{a_n}_2=a_1+a_2</math>::<math>\\S^{a_n}_3=a_1+a_2+a_3\end{align}</math>
וכן הלאה.
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס''' אם סדרת הסכומים החלקיים <math>S^{a_n}</math> מתכנסתלגבול סופי. (במובן הגדרת הגבול של סדרות, כמובן) **במקרה זה אומרים כי סכום הטור שווה לגבול סדרת הסכומים החלקיים. כלומר <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N^{a_n}</math> .
*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס בהחלט''' אם טור הסדרה <math>|a_n|</math> מתכנס.
*אומרים כי טור '''מתכנס בתנאי''' אם הוא מתכנס, אך אינו מתכנס בהחלט.
מסמנים את טור הסדרה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> .
מסמנים את טור הסדרה ב <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא חשובה.'''</font>
נחשב את סכום הטור <font sizemath>\displaystyle\sum_{n=4 color=#a7adcd>'''דוגמא חשובה.''' 0}^\infty x^n</fontmath>
:<math>\begin{align}S_1&=x^0=1\\S_2&=x^0+x^1=1+x\\\vdots\\S_N&=1+x+x^2+\cdots+x^{N-1}\end{align}</math>
נחשב את סכום הטור <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math>
כעת, לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית, מקבלים
::<math>S_1S_N=\dfrac{1-x^0=N}{1-x}</math>
::אם כך, <math>S_2\displaystyle\sum_{n=x^0+}^\infty x^1n=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\frac{1-x^N}{1+-x}</math>
:::<math>\vdots</math>
זה תרגיל בסדרות, וקל לראות כי::<math>S_N=1+x+x^2+...+x^{N-1}</math>
:אם <math>|x|<1</math> הסדרה מתכנסת ומקבלים <math>\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>
כעת:אם <math>x=1</math> הסדרה לא מוגדרת, לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסיתכיון שאסור היה להשתמש בנוסחת הסכום במקרה זה. קל לראות, מקבלים אמנם, כי סדרת הסכומים החלקיים האמיתית היא <math>S_N=N</math> וכיון שהיא שואפת לאינסוף, הטור מתבדר.
::אם <math>S_Nx=\frac{1-x^N}{1-x}</math>הסדרה מתבדרת וכך גם הטור
:אם <math>|x|>1</math> הסדרת אינה חסומה, ולכן מתבדרת ולכן הטור מתבדר.
אם כך, <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\lim_{N\rightarrow\infty}S_N=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1-x^N}{1-x}</math>
'''שימו לב:''' אם נתחיל את הספירה ממקום אחר, נקבל סכום אחר. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}</math> . אם כך, '''מספר סופי של אברים לא משפיע על התכנסות הטור, אך עשוי להשפיע על סכומו'''.
זה תרגיל בסדרות, וקל לראות כי:
::אם באופן כללי, סדרת הסכומים החלקיים של טור מוגדרת על-ידי כלל הנסיגה <math>S_{N+1}^{a_n}=S^{a_n}_N+a_{N+1}</math> . <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא חשובה.'''</font> ניזכר בתרגילים מ[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי|x|סדרות קושי]]. נשים לב כי סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math> הסדרה מתכנסת ומקבלים (הנקרא לעתים הטור '''ההרמוני''') מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+\dfrac1{n+1}</math> . כפי שראינו, סדרה זו אינה סדרת קושי ולכן מתבדרת, ולכן הטור ההרמוני מתבדר. באופן דומה, נסיק כי הטור <math>\displaystyle\sum_{n=01}^\infty x\frac1{n^2}</math> מתכנס. באופן כללי, הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\fracfrac1{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha>1</math> אבל את זה נלמד בהמשך. ==הקשר בין התכנסות טור לבין גבול הסדרה של הטור==אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי בהכרח <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0</math> '''הכיוון ההפוך אינו נכון בהכרח!!!!''' לדוגמא, <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0</math> ואילו הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math> אינו מתכנס. ==טורים טלסקופיים==כפי שטלסקופ ארוך מאד (או אנטנה של רדיו) מתקפלים אל תוך עצמם (כל חתיכה נכנסת בקודמה), כך לעתים סכום של מספרים מתבטל ברובו ומשאיר רק מספר קטן של מחוברים. אם תרצו, זהו טור מטריושקה. לדוגמא, קל לוודא כי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^{10}\frac1n-x\frac1{n+1}=\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots=\frac11-\frac1{11}</math> טור נקרא '''טלסקופי''' אם סדרת הסכומים החלקיים שלו מצטמצמת באופן דומה לדוגמא לעיל. זו אינה הגדרה מתמטית מדויקת, אלא כינוי לדרך מסוימת לחשב סכום של טור.
::אם <math>x=1</math> הסדרה לא מוגדרת, כיוון שאסור היה להשתמש בנוסחאת הסכום במקרה זה. קל לראות, אמנם, כי סדרת הסכומים החלקיים האמיתית שואפת לאינסוף ולכן הטור מתבדר
::אם <math>xfont size=-14 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</mathfont> הסדרה מתבדרת וכך גם הטור
:: אם <math>|x|>1</math> הסדרת אינה חסומה, ולכן מתבדרת ולכן הוכח כי הטור מתבדר.הבא מתכנס ומצא את סכומו
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+2)(n+4)}</math>
;פתרון.
נפרק את הביטוי לשברים חלקיים, על-מנת לקבל <math>\dfrac1{(n+2)(n+4)}=\dfrac1{2(n+2)}-\dfrac1{2(n+4)}</math>
'''שימו לב:''' אם נתחיל את הספירה ממקום אחר, נקבל סכום אחר. <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1על-x}</math>. אם כך, '''מספר סופי ידי התבוננות במספר האיברים הראשונים של איברים לא משפיע על התכנסות הטור, אך עשוי להשפיע על סכומו'''.אנו מנחשים כי סדרת הסכומים החלקיים מקיימת את הנוסחא
:<math>S_N=\dfrac16+\dfrac18-\dfrac1{2n+6}-\dfrac1{2n+8}</math>
את נוסחא זו קל להוכיח באינדוקציה.
אם כך, סכום הטור - הלא הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים - שווה <math>\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\dfrac16+\dfrac18=\dfrac7{24}</math>
באופן כללי, סדרת הסכומים החלקיים של טור מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S^{a_n}_{N+1}=S^{a_n}_N+a_{N+1}</math>.
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא חשובהתרגיל.''' </font>
ניזכר בתרגילים מ[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי|סדרות קושי]]. נשים לב כי סדרת הסכומים החלקיים של קבע אם הטור הבא מתכנס:<math>\sumdisplaystyle\frac{1}sum_{n}</math> (הנקרא לעיתים הטור '''ההרמוני''') מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S_{N+=1}=S_N+^\infty\ln\left(\frac{n+1}{n+1}\right)</math>. כפי שראינו, סדרה זו אינה סדרת קושי ולכן מתבדרת, ולכן הטור ההרמוני מתבדר.
באופן דומה, ראינו כי הטור ;פתרון.נביט בסדרת הסכומים החלקיים:<math>\sumbegin{align}S_N&=\ln\left(\dfrac21\right)+\cdots+\ln\left(\fracdfrac{N+1}{n^N}\right)\\S_N&=\ln(2)-\ln(1)+\ln(3)-\ln(2)+\cdots+\ln(N+1)-\ln(N)\\&=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1)\end{align}</math> מתכנס.
באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> ולכן סדרת הסכומים החלקיים שואפת לאינסוף והטור אינו מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.
