שינויים

כמובן שלא נוכל לחלק יותר מאשר '''עוגה אחת''' ממנה התחלנו. לכן, אינטואיטיבית, <math>\frac{1}{2}dfrac12+\frac{1}{4}dfrac14+\frac{1}{8}dfrac18+\cdots\le1</math>

נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' <math>S^{a_n}</math> של סדרה <math>a_n</math> כלשהי להיות <math>S^{a_n}_N=a_1+a_2+\cdots+a_N</math> .

:<math>\begin{align}S^{a_n}_1=a_1</math>:<math>\\S^{a_n}_2=a_1+a_2</math>:<math>\\S^{a_n}_3=a_1+a_2+a_3\end{align}</math> 

**במקרה זה אומרים כי סכום הטור שווה לגבול סדרת הסכומים החלקיים. כלומר <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_lim_{N\to\infty}S_N^{a_n}</math> .

 מסמנים את טור הסדרה ב- <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty a_n</math>.

נחשב את סכום הטור :<math>\sum\limits_begin{n=0align}^\infty x^n</math> :<math>S_1&=x^0=1</math> :<math>\\S_2&=x^0+x^1=1+x</math> ::<math>\\\vdots</math> :<math>\\S_N&=1+x+x^2+\cdots+x^{N-1}\end{align}</math>

:<math>S_N=\fracdfrac{1-x^N}{1-x}</math>

אם כך, <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=0}^\infty x^n=\lim\limits_lim_{N\to\infty}S_N=\lim\limits_lim_{N\to\infty}\frac{1-x^N}{1-x}</math>

:אם <math>|x|<1</math> הסדרה מתכנסת ומקבלים <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}frac1{1-x}</math>

   באופן כללי, סדרת הסכומים החלקיים של טור מוגדרת על-ידי כלל הנסיגה <math>S^{a_n}_S_{N+1}^{a_n}=S^{a_n}_N+a_{N+1}</math> .

ניזכר בתרגילים מ[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי|סדרות קושי]]. נשים לב כי סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}{n}^\infty\frac1n</math> (הנקרא לעיתים לעתים הטור '''ההרמוני''') מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+\frac{1}dfrac1{n+1}</math> . כפי שראינו, סדרה זו אינה סדרת קושי ולכן מתבדרת, ולכן הטור ההרמוני מתבדר.

באופן דומה, נסיק כי הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מתכנס.

באופן כללי, הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha>1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.

אם <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי בהכרח <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0</math>

לדוגמא, <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}dfrac1n=0</math> ואילו הטור <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}frac1n</math> אינו מתכנס.

לדוגמא, קל לוודא כי <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}frac1n-\frac{1}frac1{n+1}=\frac{1}{1}frac11-\frac{1}{2}frac12+\frac{1}{2}frac12-\frac{1}{3}frac13+\cdots=\frac{1}{1}frac11-\frac{1}frac1{11}</math>

:<math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty\frac{1}frac1{(n+2)(n+4)}</math>

נפרק את הביטוי לשברים חלקיים, על-מנת לקבל <math>\frac{1}dfrac1{(n+2)(n+4)}=\frac{1}dfrac1{2(n+2)}-\frac{1}dfrac1{2(n+4)}</math>

:<math>S_N=\frac{1}{6}dfrac16+\frac{1}{8}dfrac18-\frac{1}dfrac1{2n+6}-\frac{1}dfrac1{2n+8}</math>

אם כך, סכום הטור - הלא הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים - שווה ל- <math>\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{6}dfrac16+\frac{1}dfrac18=\dfrac7{824}</math>

:<math>\sumdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)</math>

 :<math>\begin{align}S_N&=\ln\left(\frac{2}{1}dfrac21\right)+\cdots+\ln\left(\fracdfrac{N+1}{N}\right)</math> :<math>\\S_N&=\ln(2)-\ln(1)+\ln(3)-\ln(2)+\cdots+\ln(N+1)-\ln(N)\\&=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1)\end{align}</math>