הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים כלליים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏התכנסות בהחלט)
(←‏מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים)
שורה 44: שורה 44:
  
 
:<math>\sum (-1)^nsin(\frac{1}{n})</math>
 
:<math>\sum (-1)^nsin(\frac{1}{n})</math>
 +
 +
===מבחן דיריכלה- סדרה מונוטונית כפול סדרה עם טור חסום===
 +
תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת לאפס. תהי <math>b_n</math> כך שסדרת הסכומים החלקיים שלה חסומה:
 +
::<math>\exist M\forall N:|S_N|=|\sum_{n=1}^Na_n|<M</math>
 +
 +
אזי <math>\sum b_n\cdot a_n</math> מתכנס.

גרסה מ־11:02, 21 בדצמבר 2011

חזרה לטורים

התכנסות בהחלט

הגדרה. יהי \sum a_n טור. אזי אומרים כי הטור מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים שלו \sum |a_n| מתכנס.


דוגמא.

הטור \sum{(-1)^n\frac{1}{n}} אינו מתכנס בהחלט, כיוון שטור הערכים המוחלטים \sum\frac{1}{n} מתבדר.


משפט.

טור מתכנס בהחלט, מתכנס. כלומר, אם \sum |a_n| מתכנס \Leftarrow גם \sum a_n מתכנס. (ההפך לא נכון בהכרח.)


סקיצה של ההוכחה. אם הטור מתכנס בהחלט, אזי סכום האיברים החיוביים בלבד של הטור המקורי מתכנס (לפי מבחן ההשוואה הראשון, שכן סכום החיוביים בלבד קטן מסכום כל הערכים המוחלטים). באופן דומה סכום האיברים השליליים של הטור המקורי מתכנס (שכן הוא מינוס של טור חיובי המתכנס לפי מבחן ההשואה הראשון). ביחד, סכום החיוביים פחות סכום השליליים מתכנס ושווה לסכום הטור.

שימו לב כי זו אינה הוכחה מלאה, יש לדייק בטיעונים.

מבחני התכנסות כלליים

עד כה למדנו את מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים. כעת נלמד על מבחני התכנסות נוספים, שאינם דורשים כי כל איברי הסדרה יהיו חיוביים.

מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי a_n סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת לאפס. אזי הטור \sum (-1)^na_n מתכנס.

דוגמאות.

הטורים הבאים מתכנסים לפי מבחן לייבניץ:

\sum (-1)^n\frac{1}{n}
\sum (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}
\sum (-1)^n\frac{1}{ln(n)}
\sum (-1)^nsin(\frac{1}{n})

מבחן דיריכלה- סדרה מונוטונית כפול סדרה עם טור חסום

תהי a_n סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת לאפס. תהי b_n כך שסדרת הסכומים החלקיים שלה חסומה:

\exist M\forall N:|S_N|=|\sum_{n=1}^Na_n|<M

אזי \sum b_n\cdot a_n מתכנס.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/טורים/מבחנים_כלליים&oldid=17259