שינויים
/* מבחן דיריכלה- סדרה מונוטונית כפול סדרה עם טור חסום */
:<math>\sum\frac{sin(n)}{ln(n)}</math>
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
בדוק את התכנסות הטורים הבאים:
*<math>\sum\frac{sin^2(n)}{n}</math>
*<math>\sum\frac{|sin(n)|}{n}</math>
'''פתרון.'''
נביט בזהות הטריגונומטרית <math>2sin^2(\alpha)=1-cos(2\alpha)</math>. לכן
::<math>\sum\frac{sin^2(n)}{n}=\sum\frac{1-cos(2n)}{2n}</math>
ניתן באמצעות מבחן דיריכלה, באופן דומה לתרגיל הקודם, להוכיח כי <math>\sum\frac{cos(2n)}{2n}</math> מתכנס. נניח בשלילה כי הטור <math>\sum\frac{sin^2(n)}{n}</math> מתכנס, ונקבל כי הטור
::<math>\sum\frac{1}{2n}=\sum\frac{sin^2(n)}{n}+\frac{cos(2n)}{2n}</math>
הוא סכום טורים מתכנסים ולכן מתכנס וזו סתירה, כיוון שאנו יודעים שטור זה מתבדר.
כעת, נשים לב כי <math>|sin(n)|\geq sin^2(n)</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם <math>\sum\frac{|sin(n)|}{n}</math> מתבדר.
