שינויים

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>יהי <math>\sum a_n</math> טור. אזי אומרים כי הטור '''מתכנס בהחלט''' אם טור הערכים המוחלטים שלו <math>\sum |a_n|</math> מתכנס.

<font size=4 color=#a7adcd>טור מתכנס '''דוגמא.בתנאי''' </font>אם הוא מתכנס, אבל '''לא''' מתכנס בהחלט.

;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>הטור <math>\sumdisplaystyle\sum_{(-n=1)}^n\infty\frac{(-1)^n}{n}}</math> '''אינו''' מתכנס בהחלט, כיוון כיון שטור הערכים המוחלטים <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}{n}^\infty\frac1n</math> מתבדר.

''';משפט.'''טור מתכנס בהחלט, מתכנס. כלומר אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|</math> מתכנס <math>\Leftarrow</math> גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס. (ההפך לא נכון בהכרח.)

טור מתכנס בהחלט, מתכנס. כלומר, אם <math>\sum |a_n|</math> מתכנס <math>\Leftarrow</math> גם <math>\sum a_n</math> מתכנס. (ההפך לא נכון בהכרח.)  ''';סקיצה של ההוכחה.'''אם הטור מתכנס בהחלט, אזי סכום האיברים האברים החיוביים בלבד של הטור המקורי מתכנס (לפי מבחן ההשוואה הראשון, שכן סכום החיוביים בלבד קטן מסכום כל הערכים המוחלטים). באופן דומה סכום האיברים האברים השליליים של הטור המקורי מתכנס (שכן הוא מינוס של טור חיובי המתכנס לפי מבחן ההשואה הראשון). ביחד, סכום החיוביים פחות סכום השליליים מתכנס ושווה לסכום הטור.

תהי ;<mathfont size=4 color=#a7adcd>a_n</math> סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת לאפסדוגמאות. אזי הטור <math>\sum (-1)^na_n</mathfont> מתכנס.הטורים הבאים מתכנסים לפי מבחן לייבניץ:

:<font sizemath>\displaystyle\begin{align}\sum_{n=4 color1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\\\sum_{n=#a7adcd>1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\\'''דוגמאות.''' \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln(n)}\\\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin\left(\tfrac1n\right)\end{align}</fontmath>

===מבחן דיריכלה - סדרה מונוטונית כפול סדרה עם טור חסום===תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת ל-0. תהי <math>b_n</math> כך שסדרת הסכומים החלקיים שלה חסומה::<math>\exist M\forall N:|S_N|=\left|\sum_{n=1}^Nb_n\right|<M</math> אזי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס.  ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>ראשית נוכיח כי הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin(n)</math> חסום (כלומר סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה). נבחן את סדרת הסכומים החלקיים::<math>S_n=\sin(1)+\cdots+\sin(n)</math>נכפול את שני הצדדים בקבוע <math>2\sin(1)</math> לקבל:<math>2\sin(1)S_n=2\sin(1)\sin(1)+2\sin(2)\sin(1)+\cdots+2\sin(n)\sin(1)</math> נפעיל את הזהות הטריגונומטרית <math>2\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)</math> ::<math>2\sin(1)S_n=\cos(0)-\cos(2)+\cos(1)-\cos(3)+\cos(2)-\cos(4)+\cdots+\cos(n-1)-\cos(n+1)</math> זהו טור טלסקופי, ולאחר צמצום אנו נשארים עם:<math>2\sin(1)S_n=\cos(0)+\cos(1)-\cos(n)-\cos(n+1)</math> ולכן <math>|S_n|=\left|\dfrac{\cos(0)+\cos(1)-\cos(n)-\cos(n+1)}{2\sin(1)}\right|\le\dfrac2{\sin(1)}</math> כלומר סדרת הסכומים החלקיים אכן חסומה.  כעת, נובע בקלות ממבחן דיריכלה כי הטורים הבאים '''מתכנסים לפי מבחן לייבניץ'''::<math>\begin{align}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{\sqrt n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{\ln(n)}\end{align}</math> ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>בדוק את התכנסות הטורים הבאים: :<math>\begin{align}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{|\sin(n)|}{n}\end{align}</math> ;פתרון.נביט בזהות הטריגונומטרית <math>2\sin^2(\alpha)=1-\cos(2\alpha)</math> . לכן:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1-\cos(2n)}{2n}</math>

:ניתן באמצעות מבחן דיריכלה, באופן דומה לתרגיל הקודם, להוכיח כי <math>\sum (-displaystyle\sum_{n=1)}^n\infty\frac{\cos(2n)}{2n}</math> מתכנס. נניח בשלילה כי הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}</math>מתכנס, ונקבל כי הטור

:<math>\sum (-displaystyle\sum_{n=1)}^n\fracinfty\frac1{2n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrtsin^2(n)}{n}+\frac{\cos(2n)}{2n}</math>

:כעת, נשים לב כי <math>|\sum sin(-1n)|\ge\sin^nsin2(n)</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם <math>\fracdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{|\sin(n})|}{n}</math>מתבדר.