שינויים
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]]
==טורים חיוביים==
טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math> , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:
:<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\ge0</math>
===מבחן ההשוואה הראשון===
יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\forall n:a_n\ge b_n</math>
:אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
;הוכחה.נסמן את סדרות הסכומים החלקיים:<math>\displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=משפט ההשוואה הראשון==\sum_{k= 1}^N b_k\end{align}</math>יהיו לפי הנתון <math>\sum a_n,displaystyle\sum b_nsum_{n=1}^\infty a_n</math> טורים חיוביים כך ש הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה <math>\forall n:a_ndisplaystyle A_N=\geq b_nsum_{k=1}^N a_k\le M</math> עבור <math>M</math>כלשהוא.
אבל <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> , ולכן:אם <math>\sum a_ndisplaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M</math> מתכנס אזי גם כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.
החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: <math>a\to b\equiv\bar b\to\bar a</math> . ===מבחן ההשוואה הגבולי===יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L</math>:אם <math>L=0</math>::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס ::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר :אם <math>L\ne0</math>:הטורים '''חברים''' כלומר מתכנסים או מתבדרים '''יחדיו''' (במתמטיקה: <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס)
===מבחן דלאמבר/המנה===
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> הטור מתכנס :אם <math>\liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף) :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה) ===מבחן השורש של קושי===יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי . :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף) :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה) שימו לב שבשני המבחנים הקודמים '''לא מספיק להוכיח כי''':<math>\forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> או <math>\forall n:\sqrt[n]{a_n}<1</math> שכן '''גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1, עשוי להיות 1'''. במקרה והגבול הוא 1, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס. לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- <math>n</math> גדול מ-1 אזיאברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס. ===מבחן העיבוי===תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0'''.:הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים) כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2. ===מבחן ראבה===יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1</math> הטור מתכנס:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1</math> הטור מתבדר:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1</math> לא ניתן לדעת ===מבחן לוגריתמי===יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> הטור מתכנס:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}<1</math> הטור מתבדר:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1</math> לא ניתן לדעת הערה: שימו לב כי אם <math>-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1. ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln(n)}</math> מתכנס. ;פתרון.כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}</math> נזכור כי <math>\ln(2^n)=n\ln(2)</math> ולכן :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)}</math> אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר. לכן סה"כ הטור '''מתבדר'''. ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)}</math> מתכנס. ;פתרון.כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln^2(n)}</math> חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln^2(2^n)}</math> בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים: :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)}</math> אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> ולכן סה"כ הטור '''מתכנס'''. ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס.
::אם <math>\limsup displaystyle\fracsum_{a_n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n+)^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum_{a_nn=1} > ^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\right)^n</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)
