הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==טורים חיוביים== טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים הח...")
 
 
(25 גרסאות ביניים של 6 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]]
 +
 +
 
==טורים חיוביים==
 
==טורים חיוביים==
 +
טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math> , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:
 +
:<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\ge0</math>
  
טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי נוסחאת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math>, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:
+
על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.
  
::<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0</math>
+
למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|הדוגמאות האלו]].
  
 +
===מבחן ההשוואה הראשון===
 +
יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\forall n:a_n\ge b_n</math>
  
על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.
+
:אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס.
  
 +
:אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
  
===משפט ההשוואה הראשון===  
+
;הוכחה.
יהיו <math>\sum a_n,\sum b_n</math> טורים חיוביים כך ש <math>\forall n:a_n\geq b_n</math>
+
נסמן את סדרות הסכומים החלקיים
 +
:<math>\displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=\sum_{k=1}^N b_k\end{align}</math>
 +
לפי הנתון <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה
 +
<math>\displaystyle A_N=\sum_{k=1}^N a_k\le M</math> עבור <math>M</math> כלשהוא.
  
::אם <math>\sum a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum b_n</math> מתכנס
+
אבל <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> , ולכן
 +
:<math>\displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M</math>
 +
כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.
  
::אם <math>\sum b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum a_n</math> מתבדר
+
החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: <math>a\to b\equiv\bar b\to\bar a</math> .
 +
 
 +
===מבחן ההשוואה הגבולי===
 +
יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L</math>
 +
:אם <math>L=0</math>
 +
::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס
 +
 
 +
::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר
 +
 
 +
:אם <math>L\ne0</math>
 +
:הטורים '''חברים''' כלומר מתכנסים או מתבדרים '''יחדיו''' (במתמטיקה: <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס)
  
 
===מבחן דלאמבר/המנה===
 
===מבחן דלאמבר/המנה===
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי אזי:
+
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.
 +
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> הטור מתכנס
 +
 
 +
:אם <math>\liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)
 +
 
 +
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת
 +
::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
 +
 
 +
===מבחן השורש של קושי===
 +
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי.
 +
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס
 +
 
 +
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)
 +
 
 +
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת
 +
::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
 +
 
 +
 
 +
שימו לב שבשני המבחנים הקודמים '''לא מספיק להוכיח כי'''
 +
:<math>\forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> או <math>\forall n:\sqrt[n]{a_n}<1</math>
 +
 
 +
שכן '''גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1, עשוי להיות 1'''. במקרה והגבול הוא 1, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.
 +
 
 +
 
 +
לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- <math>n</math> גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס.
 +
 
 +
===מבחן העיבוי===
 +
תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0'''.
 +
:הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים)
 +
 
 +
כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.
 +
 
 +
===מבחן ראבה===
 +
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.
 +
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1</math> הטור מתכנס
 +
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1</math> הטור מתבדר
 +
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1</math> לא ניתן לדעת
 +
 
 +
===מבחן לוגריתמי===
 +
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.
 +
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> הטור מתכנס
 +
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}<1</math> הטור מתבדר
 +
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1</math> לא ניתן לדעת
 +
 
 +
הערה: שימו לב כי אם <math>-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.
 +
 
 +
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
 +
קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln(n)}</math> מתכנס.
 +
 
 +
;פתרון.
 +
כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:
 +
 
 +
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}</math>
 +
 
 +
נזכור כי <math>\ln(2^n)=n\ln(2)</math> ולכן
 +
 
 +
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)}</math>
 +
 
 +
אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.
 +
 
 +
לכן סה"כ הטור '''מתבדר'''.
 +
 
 +
 
 +
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
 +
קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)}</math> מתכנס.
 +
 
 +
;פתרון.
 +
כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln^2(n)}</math> חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:
 +
 
 +
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln^2(2^n)}</math>
 +
 
 +
בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:
 +
 
 +
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)}</math>
 +
 
 +
אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math>
 +
 
 +
ולכן סה"כ הטור '''מתכנס'''.
 +
 
 +
 
 +
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
 +
קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס.
  
::אם <math>\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =L <1</math> הטור מתכנס
+
;פתרון.
 +
הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:
  
::אם <math>\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)
+
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\right)^n</math>
  
::אם <math>\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
+
זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם<math>\dfrac1{2^{\alpha-1}}<1</math> וזה נכון אם"ם <math>\alpha-1>0</math> כלומר <math>\alpha>1</math> .

גרסה אחרונה מ־08:52, 14 בפברואר 2017

חזרה לטורים


טורים חיוביים

טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה S_{N+1}=S_N+a_{N+1} , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:

S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\ge0

על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.

למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות הדוגמאות האלו.

מבחן ההשוואה הראשון

יהיו \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n טורים חיוביים כך ש- \forall n:a_n\ge b_n

אם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס אזי גם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס.
אם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתבדר אזי גם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר.
הוכחה.

נסמן את סדרות הסכומים החלקיים

\displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=\sum_{k=1}^N b_k\end{align}

לפי הנתון \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה \displaystyle A_N=\sum_{k=1}^N a_k\le M עבור M כלשהוא.

אבל \forall n:a_n\ge b_n , ולכן

\displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M

כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n חסומה, ולכן הטור מתכנס.

החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: a\to b\equiv\bar b\to\bar a .

מבחן ההשוואה הגבולי

יהיו \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n טורים חיוביים כך ש- \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L

אם L=0
אם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס אזי גם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס
אם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתבדר אזי גם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר
אם L\ne0
הטורים חברים כלומר מתכנסים או מתבדרים יחדיו (במתמטיקה: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס אם"ם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס)

מבחן דלאמבר/המנה

יהי \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n טור חיובי.

אם \limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1 הטור מתכנס
אם \liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1 לא ניתן לדעת
(הטורים \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

מבחן השורש של קושי

יהי \sum a_n טור חיובי.

אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1 הטור מתכנס
אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 לא ניתן לדעת
(הטורים \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)


שימו לב שבשני המבחנים הקודמים לא מספיק להוכיח כי

\forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1 או \forall n:\sqrt[n]{a_n}<1

שכן גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1, עשוי להיות 1. במקרה והגבול הוא 1, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.


לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- n גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס.

מבחן העיבוי

תהי a_n סדרה חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0.

הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס אם"ם הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n} מתכנס (הם חברים)

כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.

מבחן ראבה

יהי \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n טור חיובי.

אם \lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1 הטור מתכנס
אם \lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1 הטור מתבדר
אם \lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 לא ניתן לדעת

מבחן לוגריתמי

יהי \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n טור חיובי.

אם \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1 הטור מתכנס
אם \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}<1 הטור מתבדר
אם \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1 לא ניתן לדעת

הערה: שימו לב כי אם -\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1 אז לא בהכרח מתקיים \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1 ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.

דוגמא.

קבע האם הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln(n)} מתכנס.

פתרון.

כיון שהסדרה \dfrac1{n\ln(n)} חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}

נזכור כי \ln(2^n)=n\ln(2) ולכן

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)}

אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.

לכן סה"כ הטור מתבדר.


דוגמא.

קבע האם הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)} מתכנס.

פתרון.

כיון שהסדרה \dfrac1{n\ln^2(n)} חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln^2(2^n)}

בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)}

אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}

ולכן סה"כ הטור מתכנס.


דוגמא.

קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha} מתכנס.

פתרון.

הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\right)^n

זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם \dfrac1{2^{\alpha-1}}<1 וזה נכון אם"ם \alpha-1>0 כלומר \alpha>1 .