שינויים

טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי נוסחאת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math>, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.

::<math>S_{N+1}למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות [[88-S_N=a_{N+132 אינפי 1}\geq 0<סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/math>דוגמאות|הדוגמאות האלו]].

על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף:אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס.

;הוכחה.נסמן את סדרות הסכומים החלקיים:<math>\displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=משפט ההשוואה הראשון==\sum_{k= 1}^N b_k\end{align}</math>יהיו לפי הנתון <math>\sum a_n,displaystyle\sum b_nsum_{n=1}^\infty a_n</math> טורים חיוביים כך ש הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה <math>\forall n:a_ndisplaystyle A_N=\geq b_nsum_{k=1}^N a_k\le M</math> עבור <math>M</math>כלשהוא.

אבל <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> , ולכן:אם <math>\sum a_ndisplaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M</math> מתכנס אזי גם כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.

החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים::אם <math>a\sum b_n</math> מתבדר אזי גם <math>to b\equiv\bar b\to\sum a_nbar a</math> מתבדר.

===מבחן דלאמבר/המנהההשוואה הגבולי===יהי יהיו <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טור חיובי אזיטורים חיוביים כך ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L</math>:אם <math>L=0</math>::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס

::אם <math>\limsup displaystyle\frac{a_sum_{n+=1}}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{a_n} n=L <1}^\infty a_n</math> הטור מתכנסמתבדר

::אם <math>L\limsup ne0</math>:הטורים '''חברים''' כלומר מתכנסים או מתבדרים '''יחדיו''' (במתמטיקה: <math>\frac{a_displaystyle\sum_{n+=1}}{^\infty a_n} </math> מתכנס אם"ם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> הטור מתבדר (כולל אינסוףמתכנס)

::אם ===מבחן דלאמבר/המנה===יהי <math>\limsup displaystyle\frac{a_sum_{n+=1}}{^\infty a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים טור חיובי.:אם <math>\sumlimsup\frac{1}limits_{n},\sumto\fracinfty}\dfrac{a_{n+1}}{n^2a_n}<1</math> מהווים דוגמאות לטור הטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

===מבחן השורש של קושי===יהי :אם <math>\sum liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> טור חיובי אזי: הטור מתבדר (כולל אינסוף)

::אם <math>\limsup lim\sqrt[limits_{n]\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =L 1</math> לא ניתן לדעת::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הטור מהווים דוגמאות לטור מתכנסוטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

:===מבחן השורש של קושי===יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. :אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} > <1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)מתכנס

::אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור הטור מתבדר המקיימים תנאי זה(כולל אינסוף)

::<math>\forall n: \frac{a_{n+שכן '''גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1}}{a_n}<, עשוי להיות 1</math> או <math>\forall n: \sqrt[n]{a_n}<'''. במקרה והגבול הוא 1</math>, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.

 לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מאחדמ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת לאפס ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה-<math>n </math> גדול מאחד מ-1 אזי איברי אברי הסדרה גדולים מאחד מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת לאפס ל-0 והטור אינו מתכנס.

תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת לאפסל-0'''. אזי:הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים)

::הטור ===מבחן ראבה===יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1</math> הטור מתכנס :אם"ם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1</math> הטור מתבדר:אם <math>\sum 2^na_lim\limits_{2^n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1</math> מתכנסלא ניתן לדעת

כלומרהערה: שימו לב כי אם <math>-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אנו זורקים את כל האיברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של שתים. את האיברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2אך מתכנסות ל-1.

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא;פתרון.''' כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln(n)}</fontmath>חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

קבע האם הטור :<math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty2^n\frac1{nln2^n\ln(2^n)}</math> מתכנס.

'''פתרון.'''כיוון שהסדרה :<math>\fracdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{nln2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

::;פתרון.כיון שהסדרה <math>\sum dfrac1{n\frac{2ln^n}{2^nln(2^n)}=\frac{1}{nln(2)}</math>חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוניבדומה לתרגיל הקודם, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.אנו מקבלים:

לכן אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> ולכן סה"כ הטור '''מתבדרמתכנס'''.  ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס. ;פתרון.הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור: :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\right)^n</math> זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם <math>\dfrac1{2^{\alpha-1}}<1</math> וזה נכון אם"ם <math>\alpha-1>0</math> כלומר <math>\alpha>1</math> .