שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]]
 
==טורים חיוביים==
 טור חיובי הינו הנו טור שכל איבריו אבריו אי -שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על -ידי נוסחאת נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math>, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה: ::<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0ge0</math> 
על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.
למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|הדוגמאות האלו]].
===מבחן ההשוואה הראשון===
יהיו <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש - <math>\forall n:a_n\geq ge b_n</math>
::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס.
::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
===מבחן ההשוואה הגבולי===;הוכחה. נסמן את סדרות הסכומים החלקייםיהיו :<math>\sum a_n,displaystyle\sum b_nbegin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=\sum_{k=1}^N b_k\end{align}</math> טורים חיוביים כך ש לפי הנתון <math>\lim_displaystyle\sum_{n\rightarrow=1}^\infty}a_n</math> הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה <math>\fracdisplaystyle A_N=\sum_{b_n}{a_n}k=L1}^N a_k\le M</math> עבור <math>M</math> אזיכלשהוא.
אבל <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> , ולכן
:<math>\displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M</math>
כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.
החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים::אם <math>L=0a\to b\equiv\bar b\to\bar a</math>:.
===מבחן ההשוואה הגבולי===יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L</math>::אם <math>L=0</math>::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס
::::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר
 ::אם <math>0\neq L\in\mathbb{R}ne0</math>: ::::הטורים '''חברים''' כלומר מתכנסים או מתבדרים '''יחדיו''' (במתמטיקה: <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס)
===מבחן דלאמבר/המנה===
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי אזי:. ::אם <math>\limsup \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} <1</math> הטור מתכנס
::אם <math>\liminf \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)
::אם <math>\lim \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת ::(הטורים <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}{n},^\suminfty\fracfrac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
===מבחן השורש של קושי===
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי אזי. : אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס
::אם <math>\limsup \sqrt[limits_{n]{a_n\to\infty} <1</math> הטור מתכנס ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף) ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת
::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
שימו לב שבשני המבחנים הקודמים '''לא מספיק להוכיח כי'''
:<math>\forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> או <math>\forall n:\sqrt[n]{a_n}<1</math>
::<math>\forall n: \frac{a_{n+שכן '''גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1}}{a_n}<, עשוי להיות 1</math> או <math>\forall n: \sqrt[n]{a_n}<'''. במקרה והגבול הוא 1</math>, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.
שכן '''גבול סדרה שאיבריה קטנים ממש מאחד, עשוי להיות אחד'''. במקרה והגבול הוא אחד, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.
לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- <math>n</math> גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס.
לעומת זאת===מבחן העיבוי===תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, אם המנה לעיל גדולה מאחד, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרושואפת ל-0'''. באופן דומה :הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם השורש ה-"ם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n גדול מאחד אזי איברי הסדרה גדולים מאחד ולכן הסדרה אינה שואפת לאפס והטור אינו }</math> מתכנס(הם חברים)
כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.
===מבחן ראבה===
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי אזי.: אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1</math> הטור מתכנס:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1</math> הטור מתבדר:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1</math> לא ניתן לדעת
===מבחן לוגריתמי===
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי.
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> הטור מתכנס
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}<1</math> הטור מתבדר
:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1</math> לא ניתן לדעת
הערה:: שימו לב כי אם <math>-\lim_dfrac{n\rightarrow\inftyln(a_n)}n{\leftln(1-\frac{a_{n+1)}}{a_{n}}\right)>1 </math> הטור מתכנס.:: אם אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}n\left(1-\fracdfrac{a_{n+1}\ln(a_n)}{a_{\ln(n)}}\right)<>1 </math> הטור מתבדר.:: אם <math>\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 </math> לא ניתן לדעת.
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln(n)}</math> מתכנס.
===מבחן העיבוי===;פתרון.תהי כיון שהסדרה <math>a_n\dfrac1{n\ln(n)}</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס'''ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. אזילכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}</math>
::הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\sum 2^na_{2^n}</math> מתכנס  כלומר, אנו זורקים את כל האיברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של שתים. את האיברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.  <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font> קבע האם הטור <math>\sum\frac{1}{nln(n)}</math> מתכנס.  '''פתרון.'''כיוון שהסדרה <math>\frac{1}{nln(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: ::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^nln(2^n)}</math>  נזכור כי <math>\ln(2^n)=nln(2)</math> ולכן  ::<math>\sum \frac{2^n}{2^nln(2^n)}=\frac{1}{nlnln(2)}</math>ולכן
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)}</math>
אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.
 
לכן סה"כ הטור '''מתבדר'''.
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)}</math> מתכנס.
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא;פתרון.''' כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln^2(n)}</fontmath>חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:
קבע האם הטור :<math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty2^n\frac1{nln2^n\ln^2(2^n)}</math> מתכנס.
בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:
'''פתרון.'''כיוון שהסדרה :<math>\fracdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{nln2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:
::אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס <math>\sum 2^ndisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{2^nlnn^2(2^n)}</math>
ולכן סה"כ הטור '''מתכנס'''.
בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס.
;פתרון.הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור::<math>\sum \frac{2^n}{2^nln^2(2^n)}=\frac{1}{n^2ln^2(2)}</math>
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\right)^n</math>
אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם <math>\sum\fracdfrac1{2^{\alpha-1}{n^2}<1</math>  ולכן סהוזה נכון אם"כ הטור '''מתכנס'''ם <math>\alpha-1>0</math> כלומר <math>\alpha>1</math> .
226
עריכות