שינויים

 טור חיובי הינו הנו טור שכל איבריו אבריו אי -שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על -ידי נוסחאת נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math>, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה: ::<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0ge0</math> 

יהיו <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש - <math>\forall n:a_n\geq ge b_n</math>

::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס.

::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.

;הוכחה:.נסמן את סדרת סדרות הסכומים החלקיים של :<math>\sum a_n</math> ב<math>displaystyle\begin{ A }_{ N align}A_N:&=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } </math> ובדומה <math>{ B }_{ N }a_k\\B_N:&=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }b_k\end{ b_{ k } align} </math>. לפי הנתון הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים M ממשי כך ש<math>{ A }_{ N }\displaystyle A_N=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } a_k\le M</math>עבור <math>M</math> כלשהוא.

אבל לכל n מתקיים <math>{ a }_{ \forall n }:a_n\ge { b }_{ n }b_n</math>, ולכן:<math>{ B }_{ N }\displaystyle B_N=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ b_{ k } } b_k=b_{ 1 }b_1+...\cdots+b_{ N }b_N\le a_{ 1 }a_1+...\cdots+a_{ N }a_N=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } a_k=A_{ N }A_N\le M</math>, כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.

החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: <math>a\rightarrow to b\equiv \bar { b } \rightarrow to\bar { a } </math>.

יהיו <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש - <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{b_n}{a_n}=L</math> :אם <math>L=0</math>::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזיגם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס

::אם <math>L=0</math>: ::::אם <math>\sum a_nne0</math> מתכנס אזי גם <math>\sum b_n</math> מתכנס ::::אם <math>\sum b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum a_n</math> מתבדר  ::אם <math>0\neq L\in\mathbb{R}</math>: ::::הטורים '''חברים''' כלומר מתכנסים או מתבדרים '''יחדיו''' (במתמטיקה: <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס)

יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי אזי:. ::אם <math>\limsup \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} <1</math> הטור מתכנס

::אם <math>\liminf \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)

::אם <math>\lim \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת ::(הטורים <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}{n},^\suminfty\fracfrac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי אזי. : אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס

::אם <math>\limsup \sqrt[limits_{n]{a_n\to\infty} <1</math> הטור מתכנס ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף) ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

::<math>\forall n: \frac{a_{n+שכן '''גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1}}{a_n}<, עשוי להיות 1</math> או <math>\forall n: \sqrt[n]{a_n}<'''. במקרה והגבול הוא 1</math>, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.

תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת לאפסל-0'''. אזי:  ::הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\sum 2displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים)  כלומר, אנו זורקים את כל האיברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של שתים. את האיברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2. ===מבחן ראבה ===יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי אזי:  

:: אם <math>\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1 </math> הטור מתכנסכלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2.:: אם <math>\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1 </math> הטור מתבדר.:: אם <math>\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 </math> לא ניתן לדעתאת האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.

יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> הטור מתכנס:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}<1</math> הטור מתבדר:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1</math> לא ניתן לדעת

:: אם ;<mathfont size=4 color=#a7adcd>lim \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln n}>1דוגמא.</mathfont> קבע האם הטור מתכנס.:: אם <math>lim \frac{ln displaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{a_n}}{ln n}<1</math> הטור מתבדר.:: אם <math>lim \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln (n)}=1</math> לא ניתן לדעתמתכנס.

הערה: שימו לב כי אם ;פתרון.כיון שהסדרה <math>\fracdfrac1{ln \frac{1}{a_n}}{ln n}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>lim \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln (n)}>1</math>; יש סדרות שכל איבריהן גדולים מ-1חיובית, אך מתכנסות מונוטונית ושואפת ל-10, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי.לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

:<font sizemath>\displaystyle\sum_{n=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' 1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}</fontmath>

קבע האם הטור <math>\sum\frac{1}{nln(n)}</math> מתכנס.  '''פתרון.'''כיוון שהסדרה <math>\frac{1}{nln(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: ::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^nln(2^n)}</math>  נזכור כי <math>\ln(2^n)=nln(2)</math> ולכן  ::<math>\sum \frac{2^n}{2^nln(2^n)}=\frac{1}{nlnln(2)}</math>ולכן

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא;פתרון.''' </font> קבע האם הטור כיון שהסדרה <math>\sum\fracdfrac1{1}{nln^2(n)}</math> מתכנס.  '''פתרון.'''כיוון שהסדרה <math>\frac{1}{nlnln^2(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת לאפסל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: ::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^nln^2(2^n)}</math>

::<math>\sum \frac{2^n}{2^nln^2(2^n)}=\frac{1}{n^2ln^2(2)}</math>  אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> 

;<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font> קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס.  '''פתרון.'''

::<math>\sum 2^n displaystyle\fracsum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum\Big(\fracsum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\Bigright)^n</math> 

זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם <math>\frac{1}dfrac1{2^{\alpha-1}}<1</math> וזה נכון אם"ם <math>\alpha-1>0</math> כלומר <math>\alpha>1</math>.