===מבחן ההשוואה הגבולי===
יהיו <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש - <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{b_n}{a_n}=L</math> :אם <math>L=0</math>::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזיגם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס
::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר
::אם <math>L=0</math>: ::::אם <math>\sum a_nne0</math> מתכנס אזי גם <math>\sum b_n</math> מתכנס ::::אם <math>\sum b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum a_n</math> מתבדר ::אם <math>0\neq L\in\mathbb{R}</math>: ::::הטורים '''חברים''' כלומר מתכנסים או מתבדרים '''יחדיו''' (במתמטיקה: <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס)
===מבחן דלאמבר/המנה===
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי אזי:. ::אם <math>\limsup \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} <1</math> הטור מתכנס
::אם <math>\liminf \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)
::אם <math>\lim \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת ::(הטורים <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}{n},^\suminfty\fracfrac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
===מבחן השורש של קושי===
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי אזי. : אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס
::אם <math>\limsup \sqrt[limits_{n]{a_n\to\infty} <1</math> הטור מתכנס ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף) ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת
::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
שימו לב שבשני המבחנים הקודמים '''לא מספיק להוכיח כי'''
:<math>\forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> או <math>\forall n:\sqrt[n]{a_n}<1</math>
::<math>\forall n: \frac{a_{n+שכן '''גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1}}{a_n}<, עשוי להיות 1</math> או <math>\forall n: \sqrt[n]{a_n}<'''. במקרה והגבול הוא 1</math>, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.
שכן '''גבול סדרה שאיבריה קטנים ממש מאחד, עשוי להיות אחד'''. במקרה והגבול הוא אחד, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.
לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מאחד, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה-n גדול מאחד אזי איברי הסדרה גדולים מאחד ולכן הסדרה אינה שואפת לאפס והטור אינו מתכנס
לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- <math>n</math> גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס.
===מבחן העיבוי===
תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת לאפסל-0'''. אזי:הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים)
כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.
::הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\sum 2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים) כלומר, אנו זורקים את כל האיברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של שתים. את האיברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2. ===מבחן ראבה ===יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי אזי: . :: אם <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}n\left(1-\fracdfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1 </math> הטור מתכנס.:: אם <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}n\left(1-\fracdfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1 </math> הטור מתבדר.:: אם <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}n\left(1-\fracdfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 </math> לא ניתן לדעת.
===מבחן לוגריתמי===
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> הטור מתכנס:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}<1</math> הטור מתבדר:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1</math> לא ניתן לדעת
הערה: שימו לב כי אם <math>-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.
:: אם ;<mathfont size=4 color=#a7adcd>\lim_{n\to\infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}>1דוגמא.</mathfont> קבע האם הטור מתכנס.:: אם <math>\lim_displaystyle\sum_{n\to\infty} \frac{\ln \frac{=1}{a_n}}{^\ln n}<1</math> הטור מתבדר.:: אם <math>infty\lim_frac1{n\to\infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln (n)}=1</math> לא ניתן לדעתמתכנס.
הערה: שימו לב כי אם <math>\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim_{n\to\infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}>1</math>; יש סדרות שכל איבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1. <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font> קבע האם הטור <math>\sum\frac{1}{n\ln(n)}</math> מתכנס. '''פתרון.'''כיוון כיון שהסדרה <math>\frac{1}dfrac1{n\ln(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת לאפסל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: ::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^n\ln(2^n)}</math>
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}</math>
נזכור כי <math>\ln(2^n)=n\ln(2)</math> ולכן
::<math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac{1}frac1{n\ln(2)}</math>
אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.
לכן סה"כ הטור '''מתבדר'''.
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)}</math> מתכנס.
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא;פתרון.''' </font> קבע האם הטור כיון שהסדרה <math>\sum\fracdfrac1{1}{nln^2(n)}</math> מתכנס. '''פתרון.'''כיוון שהסדרה <math>\frac{1}{nlnln^2(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת לאפסל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: ::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^nln^2(2^n)}</math>
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln^2(2^n)}</math>
בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)}</math>
::<math>\sum \frac{2^n}{2^nln^2(2^n)}=\frac{1}{n^2ln^2(2)}</math> אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math>
ולכן סה"כ הטור '''מתכנס'''.
;<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font> קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס. '''פתרון.'''
;פתרון.
הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:
::<math>\sum 2^n displaystyle\fracsum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum\Big(\fracsum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\Bigright)^n</math>
זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם <math>\frac{1}dfrac1{2^{\alpha-1}}<1</math> וזה נכון אם"ם <math>\alpha-1>0</math> כלומר <math>\alpha>1</math>.
