הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==טורים חיוביים== טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים הח...")
 
(מבחן דלאמבר/המנה)
שורה 24: שורה 24:
  
 
::אם <math>\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
 
::אם <math>\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
 +
 +
===מבחן השורש של קושי===
 +
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי אזי:
 +
 +
::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =L <1</math> הטור מתכנס
 +
 +
::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} > 1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף)
 +
 +
::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לדעת (הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

גרסה מ־10:49, 28 בנובמבר 2011

טורים חיוביים

טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי נוסחאת הנסיגה S_{N+1}=S_N+a_{N+1}, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:

S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0


על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.


משפט ההשוואה הראשון

יהיו \sum a_n,\sum b_n טורים חיוביים כך ש \forall n:a_n\geq b_n

אם \sum a_n מתכנס אזי גם \sum b_n מתכנס
אם \sum b_n מתבדר אזי גם \sum a_n מתבדר

מבחן דלאמבר/המנה

יהי \sum a_n טור חיובי אזי:

אם \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =L <1 הטור מתכנס
אם \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =1 לא ניתן לדעת (הטורים \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

מבחן השורש של קושי

יהי \sum a_n טור חיובי אזי:

אם \limsup \sqrt[n]{a_n} =L <1 הטור מתכנס
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} > 1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 לא ניתן לדעת (הטורים \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)