88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־10:49, 28 בנובמבר 2011 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (מבחן דלאמבר/המנה)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טורים חיוביים

טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי נוסחאת הנסיגה S_{N+1}=S_N+a_{N+1}, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:

S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0


על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.


משפט ההשוואה הראשון

יהיו \sum a_n,\sum b_n טורים חיוביים כך ש \forall n:a_n\geq b_n

אם \sum a_n מתכנס אזי גם \sum b_n מתכנס
אם \sum b_n מתבדר אזי גם \sum a_n מתבדר

מבחן דלאמבר/המנה

יהי \sum a_n טור חיובי אזי:

אם \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =L <1 הטור מתכנס
אם \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =1 לא ניתן לדעת (הטורים \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

מבחן השורש של קושי

יהי \sum a_n טור חיובי אזי:

אם \limsup \sqrt[n]{a_n} =L <1 הטור מתכנס
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} > 1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 לא ניתן לדעת (הטורים \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)