88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/11

• $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[1-\cos\left(\tfrac1n\right)\right]$

פתרון:

• $\left[1-\cos\left(\tfrac1n\right)\right] = \frac{1^2 -\cos^2(\frac{1}{n})}{1+\cos(\frac{1}{n})}\leq \sin^2(\frac{1}{n})\leq \frac{1}{n^2}$

ולפי מבחן השוואה לטורים חיובים, כיוון שהטור של $\frac{1}{n^2}$ גם הטור שבשאלתנו.