הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/12"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big)</math> פתרון: נסתכל רק על <math>\alpha \geq 0</math> בגלל הערך המ...")
 
 
שורה 8: שורה 8:
  
 
ונקבל ש
 
ונקבל ש
−
<math>\frac{\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)}{n^{-2\alpha}}=n^{2\alpha}\cdot\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)=\ln\left(\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}\right) \to -\frac{1}{2}</math>
+
<math>\frac{\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)}{n^{-2\alpha}}=n^{2\alpha}\cdot\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)=\ln\left(\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}\right) \to -\frac{1}{2}</math>
  
 
ולכן הטור שבשאלה חבר של  הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}}</math> שמתכנס אמ"מ <math>2\alpha > 1</math> כלומר <math>\alpha > 0.5</math>
 
ולכן הטור שבשאלה חבר של  הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}}</math> שמתכנס אמ"מ <math>2\alpha > 1</math> כלומר <math>\alpha > 0.5</math>

גרסה אחרונה מ־13:04, 14 בינואר 2022

  • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big)

פתרון: נסתכל רק על \alpha \geq 0 בגלל הערך המוחלט (ואז נוותר על הערך המוחלט):

כיוון ש \lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}=\lim\frac{\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]}{\left(n^{-\alpha}\right)^{2}}=-\frac{1}{2}

נקבל, בשילוב עם כלל e ש \cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}=e^{\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}}=e^{-\frac{1}{2}}

ונקבל ש \frac{\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)}{n^{-2\alpha}}=n^{2\alpha}\cdot\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)=\ln\left(\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}\right) \to -\frac{1}{2}

ולכן הטור שבשאלה חבר של הטור \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}} שמתכנס אמ"מ 2\alpha > 1 כלומר \alpha > 0.5

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/טורים/מבחנים_לחיוביים/דוגמאות/12&oldid=88473