88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2

חזרה לדוגמאות

• $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}$ , כאשר $m,k\in\N$

נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

$\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot \frac{\sqrt[m]{1+\frac1n}}{\sqrt[k]{1+\frac3{2n}+\frac1{2n^2}}}\end{align}$

הביטוי הימני שואף ל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:

$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[m]n}{\sqrt[k]{4n^2}}=\dfrac{n^{\frac1m-\frac2k}}{\sqrt[k]4}$

נחלק למקרים:

$\dfrac1m-\dfrac2k>0$ (כלומר $2m<k$)

אזי $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$ והטור מתבדר

$\dfrac1m-\dfrac2k<0$ (כלומר $2m>k$)

אזי $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0$ והטור מתכנס

$\frac1m-\frac2k=0$ (כלומר $2m=k$)

אזי לכל $k$ מתקיים $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{\sqrt[k]4}<1$ ולכן הטור מתכנס.