הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2"

גרסה אחרונה מ־23:56, 14 בפברואר 2017

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}$ , כאשר $m,k\in\N$

נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot \frac{\sqrt[m]{1+\frac1n}}{\sqrt[k]{1+\frac3{2n}+\frac1{2n^2}}}\end{align}

הביטוי הימני שואף ל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:

\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[m]n}{\sqrt[k]{4n^2}}=\dfrac{n^{\frac1m-\frac2k}}{\sqrt[k]4}

נחלק למקרים:

\dfrac1m-\dfrac2k>0

(כלומר

2m<k

)

אזי $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$ והטור מתבדר

\dfrac1m-\dfrac2k<0

(כלומר

2m>k

)

אזי $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0$ והטור מתכנס

\frac1m-\frac2k=0

(כלומר

2m=k

)

אזי לכל $k$ מתקיים $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{\sqrt[k]4}<1$ ולכן הטור מתכנס.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
+*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}</math> , כאשר <math>m,k\in\N</math>
-*<math>\sum\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}</math>, כאשר <math>m,k\in\mathbb{N}</math>
 נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''':
+:<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot
+\frac{\sqrt[m]{1+\frac1n}}{\sqrt[k]{1+\frac3{2n}+\frac1{2n^2}}}\end{align}</math>
-::<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=</math>
+הביטוי הימני שואף ל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:
-::<math>=\lim\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot
-\frac{\sqrt[m]{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt[k]{1+\frac{3}{2n}+\frac{1}{2n^2}}}
-</math>
-הביטוי הימני שואף לאחד, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:
-::<math>\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}=\frac{n^{\frac{1}{m}-\frac{2}{k}}}{\sqrt[k]{4}}</math>
-'''נחלק למקרים''':
-::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>)
-אזי
-<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty</math> והטור '''מתבדר'''
-::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}<0</math> (כלומר <math>2m>k</math>)
+:<math>\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[m]n}{\sqrt[k]{4n^2}}=\dfrac{n^{\frac1m-\frac2k}}{\sqrt[k]4}</math>
-אזי
+'''נחלק למקרים:'''
+:<math>\dfrac1m-\dfrac2k>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>)
-<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> והטור '''מתכנס'''
+אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\infty</math> והטור '''מתבדר'''
+:<math>\dfrac1m-\dfrac2k<0</math> (כלומר <math>2m>k</math>)
-::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>)
+אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> והטור '''מתכנס'''
-אזי
+:<math>\frac1m-\frac2k=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>)
-לכל k, מתקיים <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt[k]{4}}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס'''.
+אזי לכל <math>k</math> מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{\sqrt[k]4}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס'''.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2"

גרסה אחרונה מ־23:56, 14 בפברואר 2017

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים