[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
*<math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math>
;פתרון.
[[המספר e#דוגמאות|נשים לב]] כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>
נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאיברי המכפלה ולכן <math>1\cdot 2\cdot 3 lim\cdots limits_{n</math> גדולים מהמספר <math>\fracto\infty}\dfrac{n^2}{3\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math>.
ולכן הטור חבר של <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> ולכן מתכנס.
נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש
;פתרון ישןנשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאברי המכפלה <math>n!=1*2*..*\left cdot2\lfloor cdot3\frac{cdots n}{3} \right \rfloor *(\left \lfloor </math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n \geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>.
(נניח נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- <math>\frac{n>2}{3}</math>, קל לבדוק את ומכיוון שיש לפחות <math>n=1,2\frac23n</math>)כאלה נקבל ש-
נעלה בריבוע ונקבל ש- ::<math>(n!)^2=1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\geq left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)^\cdots n\ge1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\frac{4nn}{3}\right)^{\frac23n}</math>
(נניח <math>n>2</math> , קל לבדוק את <math>n=1,2</math>)
נעלה בריבוע ונקבל כי
:<math>(n!)^2\ge\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}</math>
ולכן
::<math>\frac{1}dfrac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}\leq le\frac{1}dfrac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{4n}{3}}}}</math>
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי''')
::<math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{4n}{3}}}}</math> ::<math>\sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס)
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\frac43}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס)
וביחד הטור '''מתכנס''' לפי '''מבחן ההשוואה הראשון'''.