הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"

גרסה אחרונה מ־00:06, 15 בפברואר 2017

חזרה לדוגמאות

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}$

פתרון.

נשים לב כי $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

ולכן $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2$

ולכן הטור חבר של $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ ולכן מתכנס.

פתרון ישן

נשים לב כי לפחות שני שלישים מאברי המכפלה $1\cdot2\cdot3\cdots n$ גדולים מהמספר $\frac{n}{3}$ .

נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- $\frac{n}{3}$ , ומכיוון שיש לפחות $\frac23n$ כאלה נקבל ש-

$n!=1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)\cdots n\ge1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac23n}$

(נניח $n>2$ , קל לבדוק את $n=1,2$ )

נעלה בריבוע ונקבל כי

(n!)^2\ge\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}

ולכן

\dfrac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}\le\dfrac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}

אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\frac43}

(ידוע כי טור זה מתכנס)

וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
-*<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math>
+*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math>
-'''פתרון'''
+;פתרון.
+[[המספר e#דוגמאות|נשים לב]] כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>
-[[המספר e#דוגמאות|נשים לב]] כי <math>\lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>
+ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math>
-ולכן <math>\lim\frac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math>
+ולכן הטור חבר של <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> ולכן מתכנס.
-ולכן הטור חבר של <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> ולכן מתכנס.
+;פתרון ישן
+נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאברי המכפלה <math>1\cdot2\cdot3\cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math> .
+נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- <math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac23n</math> כאלה נקבל ש-
+<math>n!=1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)\cdots n\ge1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac23n}</math>
-'''פתרון ישן'''
+(נניח <math>n>2</math> , קל לבדוק את <math>n=1,2</math>)
-נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאיברי המכפלה <math>1\cdot 2\cdot 3 \cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math>.
-נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש
-<math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor
- *(\left  \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n \geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>
-(נניח <math>n>2</math>, קל לבדוק את <math>n=1,2</math>)
-נעלה בריבוע ונקבל ש-
-::<math>(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}</math>
+נעלה בריבוע ונקבל כי
+:<math>(n!)^2\ge\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}</math>
 ולכן
+:<math>\dfrac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}\le\dfrac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}</math>
-::<math>\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}</math>
 אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי''')
-::<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}</math>
+:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}</math>
-::<math>\sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס)
+:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\frac43}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס)
 וביחד הטור '''מתכנס''' לפי '''מבחן ההשוואה הראשון'''.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"

גרסה אחרונה מ־00:06, 15 בפברואר 2017

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים