88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לדוגמאות

  • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\big[\sqrt[n]n-1\big]

נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n

\sqrt[n]n-1>\dfrac1n

אם"ם

\sqrt[n]n>1+\dfrac1n

אם"ם

n>\left(1+\dfrac1n\right)^n


אך כיון ש- \left(1+\dfrac1n\right)^n שואף למספר e מלמטה מתקיים כי

\left(1+\dfrac1n\right)^n<e

ולכן, סה"כ, החל מ n>3 מתקיים

n>3>e>\left(1+\frac1n\right)^n

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מתבדר.