הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5"

גרסה מ־11:13, 21 בפברואר 2012

יהיו $\sum a_n, \sum b_n$ טורים חיוביים כך ש $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}$ .

הוכיחו כי אם $\sum b_n$ מתכנס אזי גם $\sum a_n$ מתכנס

הוכחה:

אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור b גדול מזה של a, ואנו יודעים שכפל על ידי קבוע שונה מאפס אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באיבר ששוה לאחד, ונקבל שהטור b גדול מהטור a:

\sum \frac{b_n}{b_1}

מתכנס,

צריך להוכיח כי

\sum \frac{a_n}{a_1}

מתכנס.

אבל קל להוכיח באינדוקציה כי

\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_n}{a_1}

אכן,

\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}

(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן $\frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_1}$ )

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את המשל.

@@ שורה 24: / שורה 24: @@
 אכן,
-::<math>\frac{b_n}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_1}\cdot\frac{b_n}{b_n}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot
+::<math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math>
-\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_n}{a_1}</math>
 (את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_1}</math>)

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5"

גרסה מ־11:13, 21 בפברואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים