הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5"

גרסה אחרונה מ־13:06, 15 בפברואר 2017

יהיו $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n$ טורים חיוביים כך ש- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ .

הוכיחו כי אם $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס אזי גם $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס

הוכחה.

אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור $b_n$ גדול מזה של $a_n$ , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור $b_n$ גדול מהטור $a_n$ :

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{b_1}

מתכנס.

צריך להוכיח כי

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{a_1}

מתכנס.

אבל קל להוכיח באינדוקציה כי

\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_n}{a_1}

אכן,

\dfrac{b_{n+1}}{b_1}=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{a_{n+1}}{a_1}

(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן $\dfrac{a_1}{a_1}=\dfrac{b_1}{b_1}$ )

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את שרצינו.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
+*יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\dfrac{b_{n+1}}{b_n}</math> .
+הוכיחו כי אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס
+;הוכחה.
+אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור <math>b_n</math> גדול מזה של <math>a_n</math> , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור <math>b_n</math> גדול מהטור <math>a_n</math> :
-*יהיו <math>\sum a_n, \sum b_n</math> טורים חיוביים כך ש <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}</math>.
+:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{b_1}</math> מתכנס.
-הוכיחו כי אם <math>\sum b_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum a_n</math> מתכנס
-'''הוכחה:'''
-אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור b גדול מזה של a, ואנו יודעים שכפל על ידי קבוע שונה מאפס אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באיבר ששוה לאחד, ונקבל שהטור b גדול מהטור a:
-::<math>\sum \frac{b_n}{b_1}</math> מתכנס,
 צריך להוכיח כי
+:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{a_1}</math> מתכנס.
-::<math>\sum \frac{a_n}{a_1}</math> מתכנס.
 אבל קל להוכיח באינדוקציה כי
+:<math>\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_n}{a_1}</math>
-::<math>\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_n}{a_1}</math>
 אכן,
+:<math>\dfrac{b_{n+1}}{b_1}=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{a_{n+1}}{a_1}</math>
-::<math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math>
+(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\dfrac{a_1}{a_1}=\dfrac{b_1}{b_1}</math>)
-(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_1}</math>)
-ולכן לפי '''מבחן ההשוואה הראשון''' אנו מקבלים את המשל.
+ולכן לפי '''מבחן ההשוואה הראשון''' אנו מקבלים את שרצינו.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5"

גרסה אחרונה מ־13:06, 15 בפברואר 2017

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים