שינויים

*יהיו :<math>\sum a_n, displaystyle\sum b_n</math> טורים חיוביים כך ש <math>\frac{a_sum_{n+=1}}{a_n}^\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}</math>.הוכיחו כי אם <math>\sum b_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum a_n</math> מתכנס  '''הוכחה:''' אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור b גדול מזה של a, ואנו יודעים שכפל על ידי קבוע שונה מאפס אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באיבר ששוה לאחד, ונקבל שהטור b גדול מהטור a:  ::<math>\sum infty\frac{b_n}{b_1}</math> מתכנס,.

 ::<math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{a_1}</math> מתכנס.  

 ::<math>\fracdfrac{b_n}{b_1}\geq ge\fracdfrac{a_n}{a_1}</math> 

::<math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math>  (את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\fracdfrac{a_1}{a_1}=\fracdfrac{b_1}{b_1}</math>)  

ולכן לפי '''מבחן ההשוואה הראשון''' אנו מקבלים את המשלשרצינו.