88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5

חזרה לדוגמאות

• יהיו $\sum a_n, \sum b_n$ טורים חיוביים כך ש $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

הוכיחו כי אם $\sum b_n$ מתכנס אזי גם $\sum a_n$ מתכנס

הוכחה:

אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור b גדול מזה של a, ואנו יודעים שכפל על ידי קבוע שונה מאפס אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באיבר ששוה לאחד, ונקבל שהטור b גדול מהטור a:

$\sum \frac{b_n}{b_1}$ מתכנס,

צריך להוכיח כי

$\sum \frac{a_n}{a_1}$ מתכנס.

אבל קל להוכיח באינדוקציה כי

$\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_n}{a_1}$

אכן,

$\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}$

(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן $\frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_1}$)

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את המשל.