88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־13:06, 15 בפברואר 2017 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לדוגמאות

  • יהיו \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n טורים חיוביים כך ש- \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\dfrac{b_{n+1}}{b_n} .

הוכיחו כי אם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס אזי גם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס

הוכחה.

אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור b_n גדול מזה של a_n , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור b_n גדול מהטור a_n :

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{b_1} מתכנס.

צריך להוכיח כי

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{a_1} מתכנס.

אבל קל להוכיח באינדוקציה כי

\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_n}{a_1}

אכן,

\dfrac{b_{n+1}}{b_1}=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{a_{n+1}}{a_1}

(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן \dfrac{a_1}{a_1}=\dfrac{b_1}{b_1})

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את שרצינו.