88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לדוגמאות

  • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{e^nn!}

נביט בחלוקה

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}}{\dfrac{n^{n-2}}{e^nn!}}=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}\cdot\dfrac{e^nn!}{n^{n-2}}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}

כיון שהסדרה \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}\le\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\dfrac{\dfrac1{(n+1)^2}}{\dfrac1{n^2}}

כיון שהטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} מתכנס, יחד עם התרגיל הקודם, קיבלנו כי טור זה מתכנס.