הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
שורה 1: שורה 1:
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
 
+
*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{e^nn!}</math>
 
+
*<math>\sum \frac{n^{n-2}}{e^nn!}</math>
+
 
+
  
 
נביט בחלוקה
 
נביט בחלוקה
 +
:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}}{\dfrac{n^{n-2}}{e^nn!}}=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}\cdot\dfrac{e^nn!}{n^{n-2}}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}</math>
  
::<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n-1}e^nn!}{e^{n+1}(n+1)!n^{n-2}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e}</math>
+
כיון שהסדרה <math>\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n</math> שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:
 
+
כיוון שהסדרה <math>\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^n</math> שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:
+
 
+
 
+
::<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e}\leq \frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{(\frac{n+1}{n})^{n}}=
+
\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}</math>
+
  
 +
:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}\le\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\dfrac{\dfrac1{(n+1)^2}}{\dfrac1{n^2}}</math>
  
כיוון שהטור <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> מתכנס, יחד עם [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5|התרגיל הקודם]], קיבלנו כי טור זה מתכנס.
+
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מתכנס, יחד עם [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5|התרגיל הקודם]], קיבלנו כי טור זה מתכנס.

גרסה אחרונה מ־19:26, 15 בפברואר 2017

חזרה לדוגמאות

  • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{e^nn!}

נביט בחלוקה

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}}{\dfrac{n^{n-2}}{e^nn!}}=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}\cdot\dfrac{e^nn!}{n^{n-2}}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}

כיון שהסדרה \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}\le\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\dfrac{\dfrac1{(n+1)^2}}{\dfrac1{n^2}}

כיון שהטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} מתכנס, יחד עם התרגיל הקודם, קיבלנו כי טור זה מתכנס.