הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7"

גרסה אחרונה מ־19:41, 15 בפברואר 2017

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha n)^n}{n!}$

ראשית, נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{(\alpha n)^n}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{(\alpha n)^n} =\lim_{n\to\infty}\alpha\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\alpha\cdot e

כעת, אם $0<\alpha<\dfrac1e$ הטור מתכנס.

אם $\alpha>\dfrac1e$ הטור מתבדר.

אחרת:

כפי שראינו בערך על המספר e, לכל $n$ מתקיים:

\left(1+\frac1n\right)^{n+1}>e

ולכן, באופן דומה לתרגיל קודם מתקיים:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{e}>\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}}=\dfrac{\dfrac1{n+1}}{\dfrac1n}

ולכן הטור מתבדר, כיון שהטור ההרמוני מתבדר.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
+*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha n)^n}{n!}</math>
-*<math>\sum\frac{(\alpha n)^n}{n!}</math>
 ראשית, נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''':
+:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{(\alpha n)^n}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{(\alpha n)^n}
+=\lim_{n\to\infty}\alpha\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\alpha\cdot e</math>
-::<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\alpha^{n+1}\cdot (n+1)^{n+1}\cdot n!}{\alpha^n\cdot n^n \cdot (n+1)!}=</math>
+כעת, אם <math>0<\alpha<\dfrac1e</math> הטור '''מתכנס'''.
-::<math>=\lim \alpha\cdot (\frac{n+1}{n})^{n}=\alpha \cdot e</math>
-כעת, אם <math>0<\alpha<\frac{1}{e}</math> הטור '''מתכנס'''.
-אם <math>\alpha>\frac{1}{e}</math> הטור '''מתבדר'''.
+אם <math>\alpha>\dfrac1e</math> הטור '''מתבדר'''.
 אחרת:
+כפי שראינו ב[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/e|ערך על המספר e]], לכל <math>n</math> מתקיים:
-כפי שראינו ב[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/e|ערך על המספר e]], לכל מספר טבעי n מתקיים:
+:<math>\left(1+\frac1n\right)^{n+1}>e</math>
-::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}>e</math>
 ולכן, באופן דומה ל[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6|תרגיל קודם]] מתקיים:
-::<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{e}>
+:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{e}>\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}}=\dfrac{\dfrac1{n+1}}{\dfrac1n}</math>
-\frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}</math>
-ולכן הטור '''מתבדר''', כיוון שהטור ההרמוני מתבדר.
+ולכן הטור '''מתבדר''', כיון שהטור ההרמוני מתבדר.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7"

גרסה אחרונה מ־19:41, 15 בפברואר 2017

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים