88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־19:41, 15 בפברואר 2017 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לדוגמאות

  • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha n)^n}{n!}

ראשית, נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{(\alpha n)^n}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{(\alpha n)^n}
=\lim_{n\to\infty}\alpha\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\alpha\cdot e

כעת, אם 0<\alpha<\dfrac1e הטור מתכנס.

אם \alpha>\dfrac1e הטור מתבדר.

אחרת:

כפי שראינו בערך על המספר e, לכל n מתקיים:

\left(1+\frac1n\right)^{n+1}>e

ולכן, באופן דומה לתרגיל קודם מתקיים:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{e}>\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}}=\dfrac{\dfrac1{n+1}}{\dfrac1n}

ולכן הטור מתבדר, כיון שהטור ההרמוני מתבדר.