88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/רימן

למשפט רימן 2 חלקים:

א. יהי $\sum_{n=0}^\infty a_n$ טור מתכנס בהחלט ומתכנס ל- $S$, אזי, לכל סדרה $b_n$ הנוצרת משינוי מיקום האיברים של $a_n$, הטור $\sum_{n=0}^\infty b_n$ גם הוא מתכנס בהחלט וגם הוא מתכנס ל- $S$.

ב. יהי $\sum_{n=0}^\infty a_n$ טור מתכנס על תנאי, אזי, לכל $p \in \mathbb{R}$ ול- $p=\pm \infty$ קיימת סדרה $b_n$ הנוצרת משינוי מיקום האיברים של $a_n$ כך שמתקיים: $\sum_{n=0}^\infty b_n=p$

הערה: סדרה $b_n$ נוצרת משינוי מיקום האיברים של $a_n$ אם ורק אם קיים $\sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ כך ש- $\forall_{n \in \mathbb{N}}: a_{\sigma (n)} =b_n$