שינויים

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי <math>1</math> נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של <math>2</math> היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,\ldots\in\R</math>).

<math>\bigg\{\frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac12,\frac14,\frac18,\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה של סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\R</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים <math>N_\epsilonvarepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שכי <math>\epsilonvarepsilon>0</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_\epsilonvarepsilon\in\N</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיבריםהאברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

אם '''לכל''' אורך (<math>(\epsilonvarepsilon>0)</math>) [סיר]

'''קיים''' מקום בסדרה (<math>(N_\epsilonvarepsilon\in\N)</math>) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה והנקודה <math>L</math> קטן מהאורך <math>\epsilonvarepsilon</math> (<math>(|a_n-L|<\epsilonvarepsilon)</math>) [מתאים לו]

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הנו <math>1</math>. נוכיח זאת.

'''יהי''' <math>\epsilonvarepsilon>0</math>. (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעתים תכופות. מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' <math>\epsilonvarepsilon</math>, אם נוכיח אותה ל- <math>\epsilonvarepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> . כלומר:

:<math>\biggleft|\fracdfrac{n-1}{n}-1\biggright|<\epsilonvarepsilon</math>

:<math>\biggleft|\fracdfrac{n-1}{n}-1\biggright|=\biggleft|-\frac1{n}frac1n\biggright|=\frac1{n}frac1n</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac1{n}dfrac1n<\epsilonvarepsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\frac1dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> .

נבחר, אפוא, <math>N_\epsilonvarepsilon>\frac1dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>n>N_\epsilonvarepsilon>\frac1dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל- <math>1</math> עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac13dfrac13</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות <math>1</math>. כעת, יהי <math>\epsilonvarepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי אברי הסדרה קרובים ל- <math>1</math> עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> . , כלומר, <math>|a_n-1|<\epsilonvarepsilon</math> .

זה שקול ל- <math>-\epsilonvarepsilon<a_n-1<\epsilonvarepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\epsilonvarepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כיון ש- <math>n\ge 1ge1</math> הצד השמאלי טריוויאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonvarepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\epsilonvarepsilon)^n</math>

נביט בביטוי <math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\epsilonvarepsilon)\cdot(1+\epsilonvarepsilon)\cdots (1+\epsilonvarepsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\epsilonvarepsilon</math> כפול <math>\epsilonvarepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> איברים אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

:<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=\fracdfrac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2+K</math>

אם כך, <math>\fracdfrac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2<(1+\epsilonvarepsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\fracdfrac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2<(1+\epsilonvarepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

:<math>\begin{align}n<\frac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2</math> :<math>\\1<\frac{n-1}{2}\epsilonvarepsilon^2</math> :<math>\\n-1>\fracdfrac{2}{\epsilonvarepsilon^2}</math> :<math>\\n>1+\frac{2}{\epsilonvarepsilon^2}+1\end{align}</math>

אם כן, הוכחנו כי<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .

:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

'''שלילת הגבול.''' :<math>L </math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilonvarepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\epsilonvarepsilon</math> .

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> ממשי כלשהו. נניח עוד כי <math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).<br> ניקח <math>\epsilon varepsilon= 1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\epsilonvarepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\in\N</math> וניקח <math>n</math> אי-זוגי גדול ממנו.  במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\ge 1ge1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.)  <math>\blacksquare</math>

''';משפט.''' תהי תהיינה <math>a_n\lim\limits_{n\to L</math> (סדרה השואפת לגבול <math>L</math>) ותהי <math>b_n\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\to K\infty}b_n=B</math> . אזי:*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=LA\pm KB</math>*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=LA\cdot KB</math>*אם <math>KB\ne 0ne0</math> אזי <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{LA}{KB}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''פתרוןתרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> .

;פתרוןנחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> . נקבל ונקבל <math>a_n=\fracdfrac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math>. חזקות שליליות של <math>n</math> שואפות ל- <math>0</math> ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- <math>\frac36=\frac12</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

נניח <math>a_n\to 0to0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n:=a_n\cdot b_n</math>?

*<math>a_n=\frac1{n}\ dfrac1n,\ b_n=(-1)^n</math> אזי :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>

*<math>a_n=\frac1{n}\ frac1n,\ b_n=n</math> אזי:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math>

*<math>a_n=\frac1{n}\ dfrac1n,\ b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי:<math>\displaystyle\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\biggBig[(-1)^n+1\biggBig]</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.''' </font>תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

:הוכח: תהי סדרה <math>a_n\cdot to0</math> ותהי <math>b_n\to 0</math>סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

'''הוכחה.''' יהי הוכח: <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>lim\bigg|limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n-)=0\bigg|<\epsilon</math> .

:;הוכחהיהי <math>|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot |b_n|\leq M\cdot |a_n|</math>. מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n</math> שואפת ל- <mathvarepsilon>0</math>, יש צריך למצוא מקום מסוים בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\Big|a_n|<\frac{cdot b_n-0\epsilon}{M}Big|</math> (כיון ש<math>\frac{\epsilon}{M}varepsilon</math> הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים :<math>|a_n\cdot b_n|<=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n|</math> . מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n\to0</math> , יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\fracdfrac{\epsilonvarepsilon}{M}=\epsilon</math> כפי שרצינו. (כיון ש- <math>\blacksquaredfrac{\varepsilon}{M}</math>הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font>לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\limcdot b_n|<M\limits_{ncdot\to\infty}\fracdfrac{\sin(n)varepsilon}{\ln(n)M}=0\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

 <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

''';פתרון.''' <math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math>

<math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1\cdot x_2times\cdots \times x_n} \le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>

<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\cdot a_2times\cdots \times a_n}=L</math> .

''';משפט.'''<br>תהי <math>\{a_n\}^\infty__{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\}^big\infty_}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

''';הוכחה:'''<br>נגדיר סדרה <math>\{b_mb_n\}^{\infty}_{n=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\fracdfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>. זוהי סדרה של סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\cdot b_2times\cdots \times b_n}=\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

<math>\displaystyle b_1\cdot b_2times\cdots \times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>

ולכן קיבלנו כי <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>

''';הוכחה:'''<br>

<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>תהי סדרה <math>\{x_n\}</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>_{n=1}^\infty\to a</math> .

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le 1le1</math>.

''';פתרון.'''<br>אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne 0ne0</math> נקבל <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math>.

אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\forall n>N_\varepsilon:\Bigg|\biggleft|\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}\biggright|-|L|\Bigg|\le \biggleft|\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\biggright|<\epsilon\ ,\ \forall n>N_\epsilonvarepsilon</math>.

נובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>(|L|-\epsilonvarepsilon)|x_n|\ ,\ \forall n>N_\epsilon</math>.

נניח כעת, בשלילה, כי <math>|L|>1</math>, ניקח <math>\epsilon varepsilon= |L|-1</math> ונקבל כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|\ ,\ \forall n>N_\epsilon</math>

בסתירה לכך ש- <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>

'''פתרוןב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.'''

;פתרוןנתבונן בסדרה <math>x_n=\left \{\begin{array}{clcases}\frac1{n} dfrac1n& n~ \text{\rm odd}\\0 & n~{\rm text{ even}\\\end{arraycases}\right.</math>

ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim lim_{n\to\infty}c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim lim_{n\to\infty}b_n = L</math> .

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}frac1n</math>

''';פתרון.''':<math>3^n\le 2le2^n+3^n\le 3le3^n+3^n = 2\cdot 3cdot3^n</math>

:<math>3=(3^n)^\frac1{n}frac1n\le (2^n+3^n)^\frac1{n}frac1n\le (2\cdot 3cdot3^n)^\frac1{n}frac1n=2^\frac1{n}frac1n\cdot 3cdot3</math>

:<math>\lim 2^\frac1limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1</math>

סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל- <math>3</math> ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל- <math>3</math>.

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>

הערה: שימו לב ש-כי <math>M</math> בדומה ל- <math>\epsilonvarepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\epsilonvarepsilon</math>. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

 <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

''';פתרון.''' נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.:<math>n!=1\cdot 2cdot2\cdot 3cdot3\cdots \frac{n}{2} \cdots n</math> (המקרה בו <math>n</math> אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).*נקטין את החצי הראשון של האיברים האברים להיות <math>1</math>, ואת החצי השני של האיברים האברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל::<math>n!\ge\fracdfrac{n}{2}\cdots\fracdfrac{n}{2}=\biggleft(\fracdfrac{n}{2}\biggright)^\frac{n}{2}</math>

:<math>\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\biggleft(\fracdfrac{n}{2}\biggright)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\fracdfrac{n}{2}}\to\infty</math>

קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.