שינויים

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>  ===ההגדרה המדויקת של סדרה===<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים. באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots\in\mathbb{R}</math>).

<math>\bigg\{\frac{1}frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{4}frac14,\frac{1}{8}frac18,...\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

תהי במקרה זה מסמנים <math>a_n</math> סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\inlim\mathbblimits_{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>0<n\epsilonto\in\mathbb{Rinfty}</math> קיים <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_n-=L|<\epsilon</math>.

במקרה זה מסמנים נקודה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L</math> על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>a_n</math>

נתרגם את זה למילים. למדנו ש<math>\epsilon>0</math> מודד '''אורךקיים''', מספר טבעי מקום בסדרה <math>(N_{\epsilon}varepsilon\in\mathbb{N})</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש [מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:]

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא ===דוגמאות===<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{n}</math>

אם '''לכלפתרון.''' אורך (<math>\epsilon>0</math>) [סיר]מהתבוננות באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הנו 1. נוכיח זאת.

'''קייםיהי''' מקום בסדרה <math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעתים תכופות. מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' <math>N_{\epsilon}\invarepsilon</math> , אם נוכיח אותה ל- <math>\mathbb{N}varepsilon</math>מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.) [מכסה]

כך כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי אברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך קרובים ל-1 עד כדי <math>\epsilon</math> (<math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>) [מתאים לו]. כלומר:

===דוגמאות==='''תרגיל.''' מצא את גבול הסדרה :<math>\lim_{nleft|\rightarrow\infty}\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|<\varepsilon</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו 1. נוכיח זאתנפתח את הביטוי.

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי אפסילוןמעוניינים כי יתקיים <math>\dfrac1n<\varepsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\dfrac1{\varepsilon}</math> . כלומר:

::נבחר, אפוא, <math>|N_\fracvarepsilon>\dfrac1{n-1\varepsilon}{</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>n>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1|עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

:<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים:<math>|\fraclim\limits_{n-1\to\infty}\dfrac{n}^2-n+1|=|\frac}{-3n^2+2n+1}{n}|=\frac{1}{n}dfrac13</math>

נבחרננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות 1. כעת, אפואיהי <math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו אברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>N_\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\varepsilon</math> . זה שקול ל- <math>-\varepsilon<a_n-1<\varepsilon</math>  זה שקול ל- <math>1-\varepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math> כיון ש- <math>n\ge1</math> הצד השמאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\varepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon</math> כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\varepsilon)^n</math> נביט בביטוי <math>(1+\varepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math> . נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים: :<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math> כלשהו  (מותר כיוון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומיםכאשר <math>K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.) אם כך, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים<math>\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> . לכן ברור כי לכל , אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n>N_{<\epsilondfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> מתקיים נסיים את התרגיל. :<math>\begin{align}n<\frac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2\\1<\frac{n-1}{2}\varepsilon^2\\n-1>N_\dfrac{2}{\epsilonvarepsilon^2}\\n>1+\frac{12}{\epsilonvarepsilon^2}\end{align}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל ומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסוים בסדרה אי-1 עד כדי אפסילון השוויון הזה יתקיים כפי שרצינו. אם כן, הוכחנו כי <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

:<math>L</math> '''שלילת הגבול.אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> .

'''תרגילנניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו.''' הוכח שלסדרה נניח עוד כי <math>a_n=(-1)^nL</math> לא קיים גבולאי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח <math>\epsilon varepsilon= 1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' אפסילון<math>\varepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> ניקח וניקח <math>n </math> אי -זוגי גדול ממנו.  במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq 1ge1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L </math> אינו שלילי.) <math>\blacksquare</math>

;משפטתהיינה <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B</math> . אזי:*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B</math>*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math>*אם <math>B\ne0</math> אזי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''משפטתרגיל.''' תהי </font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\rightarrow Ldfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> . ;פתרוןנחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> ונקבל <math>a_n=\dfrac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math> . חזקות שליליות של <math>n</math> שואפות ל-0 ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה <math>\frac36=\frac12</math> .  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> נניח <math>a_n\to0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n=a_n\cdot b_n</math> ? תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:*<math>a_n=\dfrac1n,b_n=(סדרה השואפת לגבול L-1) ותהי ^n</math>אזי :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\rightarrow Klim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math> *<math>a_n=\frac1n,b_n=n</math> אזי:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math> *<math>a_n=\dfrac1n,b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי:<math>\displaystyle\not\exists\lim_{n\rightarrowto\infty}(a_n+\cdot b_n)=L\lim_{n\to\infty}\Big[(-1)^n+K1\Big]</math>(לא קיים גבול לסדרה זו)* <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.'''</font> תהי סדרה <math>a_n\lim_to0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע). הוכח: <math>\lim\limits_{n\rightarrowto\infty}(a_n\cdot b_n)=L0</math> ;הוכחהיהי <math>\varepsilon>0</math> , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\Big|a_n\cdot Kb_n-0\Big|<\varepsilon</math>.*אם :<math>K|a_n\neq cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n|</math> . מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n\to0</math> , יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> (כיון ש- <math>\dfrac{\varepsilon}{M}</math> הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול). לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font><math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]</math> ;פתרון<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math> ==אי-שוויון הממוצעים==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה): לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מתקיים: <math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\times\cdots\times x_n}\le\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}</math> הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני". '''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד! אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=L</math> .  ;משפטתהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . ;הוכחהנגדיר סדרה <math>\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math> . זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\times\cdots\times b_n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . ברור כי <math>\displaystyle b_1\times\cdots\times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math> ולכן קיבלנו כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>  כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . ;הוכחה:אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>תהי סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty\to a</math> . א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{Kx_{n+1}}{x_n}</math>אזי <math>|L|\le1</math> . ;פתרוןאם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0</math> נקבל <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math> . אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\forall n>N_\varepsilon:\Bigg|\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right|-|L|\Bigg|\le\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\right|<\varepsilon</math> . נובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>(|L|-\varepsilon)|x_n|</math> . נניח כעת בשלילה כי <math>|L|>1</math> , ניקח <math>\varepsilon=|L|-1</math> ונקבל כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|</math> בסתירה לכך ש- <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>  ב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים. ;פתרוןנתבונן בסדרה <math>x_n=\begin{cases}\dfrac1n&n\text{ odd}\\0&n\text{ even}\end{cases}</math> ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים. ==חוק הסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L</math> אזי בהכרח <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> .  <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^\frac1n</math> ;פתרון:<math>3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n</math> לכן,:<math>3=(3^n)^\frac1n\le(2^n+3^n)^\frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3</math>כיון שמתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1</math>  סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3 .

<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>  דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים. <font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math> . הערה: שימו לב כי <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס. ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>-\infty</math> דומה עם שינויים קלים בהתאם.  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n!}</math>

הערה;פתרוןנוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.: שימו לב ש-M בדומה לאפסילון מודד מרחק, <math>n!=1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdots n</math> (המקרה בו <math>n</math> אינו זוגי מאד דומה אך מכיוון שההגבלה כאן היא חמורה דורש התעסקות עדינה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן, לא נפרט לגביו) אנו מסמנים מרחק זה באות M ולא באות אפסילון. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.*נקטין את החצי הראשון של האברים להיות 1, ואת החצי השני של האברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל::<math>n!\ge\dfrac{n}{2}\cdots\dfrac{n}{2}=\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}</math>ולכן,:<math>\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\dfrac{n}{2}}\to\infty</math>

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאםקל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.