שינויים

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>  ===ההגדרה המדויקת של סדרה===<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים. באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots\in\mathbb{R}</math>).

<math>\bigg\{\frac{1}frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{4}frac14,\frac{1}{8}frac18,...\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה של סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>.

 במקרה זה מסמנים <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}a_n=L</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שנקודה <math>\epsilon>0L</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:  נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>a_n</math>

אם '''לכל''' אורך (<math>(\epsilonvarepsilon>0)</math>) [סיר]

'''קיים''' מקום בסדרה (<math>(N_{\epsilon}varepsilon\in\mathbb{N})</math>) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה והנקודה <math>L </math> קטן מהאורך <math>\epsilonvarepsilon</math> (<math>(|a_n-L|<\epsilonvarepsilon)</math>) [מתאים לו]

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו הנו 1. נוכיח זאת.

'''יהי אפסילון גדול מאפס'''<math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים לעתים תכופות. מכיוון מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' אפסילון<math>\varepsilon</math> , אם נוכיח אותה לאפסילון ל- <math>\varepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון<math>\varepsilon</math> . כלומר:

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|=\left|-\frac1n\frac{-1}{n}right|=\frac{1}{n}frac1n</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac{1}{n}dfrac1n<\epsilonvarepsilon</math>, . זה נכון אם"ם <math>n>\frac{1}dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math>.

 <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד1. כעת, יהי אפסילון כלשהו<math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון. כלומר<math>\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\epsilonvarepsilon</math>.

זה שקול ל- <math>-\epsilonvarepsilon<a_n-1<\epsilonvarepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\epsilonvarepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כיוון כיון ש - <math>n\geq 1ge1</math> הצד השמאלי טריוויאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonvarepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים נביט בביטוי <math>n<(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

נביט בביטוי :<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא <math>\fracdfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math>. בסה"כ אנו מקבלים:

::(כאשר <math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, <math>\dfrac{n(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנוn-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> .לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

אם כךומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, <math>\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא אחרי מקום מסוים בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(nאי-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגילהשוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

::אם כן, הוכחנו כי <math>n<\fraclim_{n(n-1)\to\infty}\sqrt[n]{2n}\epsilon^2=1</math>.

::<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2blacksquare</math>

:==שלילת גבול==:<math>L</math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש-1<math>|a_n-L|\frac{2}{ge\epsilon^2}varepsilon</math>.

וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

אם כן, הוכחנו נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו. נניח עוד כי<math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

:::ניקח <math>\lim_{nvarepsilon=1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\rightarrowvarepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\infty}in\sqrt[N</math> וניקח <math>n]{n}=1</math>אי-זוגי גדול ממנו.

במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=שלילת גבול1+L\ge1=='''שלילת הגבול\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.''' )

:L '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|\geq\epsilonblacksquare</math>

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח <math>\epsilon font size= 1</math4 color=#a7adcd> (הרי צריך להוכיח כי '''קייםתרגיל.''' אפסילון). כעת, יהי <math>N\in\mathbb{N}</mathfont> ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה מצא את גבול הסדרה <math>|a_n-L|=|-1-L|=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+L\geq 1=\epsilonn^4}</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==;פתרון'''משפט.''' תהי נחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>a_n\rightarrow Ln^7</math> (סדרה השואפת לגבול L) ותהי ונקבל <math>b_na_n=\rightarrow K</math> אזי:*<math>\lim_dfrac{3+5n^{-5}+n\rightarrow\infty^{-7}(a_n}{6+b_n)=L+Kn^{-3}}</math>*. חזקות שליליות של <math>\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K</math>*אם <math>K\neq שואפות ל-0</math> אזי ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}frac36=\frac{L}{K}frac12</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''פתרוןתרגיל.'''.</font>

נחלק את המונה ואת המכנה ב- נניח <math>n^7a_n\to0</math>. נקבל ולסדרה <math>a_n=\frac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}b_n</math>אין גבול. חזקות שליליות של n שואפות לאפס ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות האם אנו רואים כי הגבול שווה ל- יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>\frac{3}{6}c_n=a_n\frac{1}{2}cdot b_n</math>.?

*<font sizemath>a_n=4 color\frac1n,b_n=#a7adcdn</math>אזי'''תרגיל.''' :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</fontmath>

נניח *<math>a_n=\rightarrow 0</math> ולסדרה <math>dfrac1n,b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה אזי:<math>c_n:=\displaystyle\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\Big[(-1)^n+1\Big]</math>?(לא קיים גבול לסדרה זו)

*<math>a_nfont size=\frac{1}{n},b_n4 color=(-1)^n</math#a7adcd> אזי ::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0'''תרגיל חשוב מאד.'''</mathfont>

*תהי סדרה <math>a_n=\frac{1}{n},to0</math> ותהי <math>b_n=n</math> אזי ::סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n}=1</math>מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

*הוכח: <math>\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=0</math> ;הוכחהיהי <math>\fracvarepsilon>0</math> , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\Big|a_n\cdot b_n-0\Big|<\varepsilon</math> . :<math>|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n|</math> . מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n\to0</math> , יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\dfrac{1\varepsilon}{nM}</math> (כיון ש- <math>\dfrac{\varepsilon}{M}</math> הנו מספר חיובי כלשהו,ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול). לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font><math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]</math> ;פתרון<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{((\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math> ==אי-שוויון הממוצעים==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה): לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מתקיים: <math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\times\cdots\times x_n}\le\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}</math> הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני". '''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד! אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזימתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=L</math> .  ;משפטתהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . ;הוכחהנגדיר סדרה <math>\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math> . זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים: <math>\notdisplaystyle\existslim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\times\cdots\times b_n}=\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_nb_n=\lim_{n\rightarrowto\infty}((\frac{a_n}{a_{n-1)}}</math> . ברור כי <math>\displaystyle b_1\times\cdots\times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math> ולכן קיבלנו כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>  כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . ;הוכחה:אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>תהי סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty\to a</math> . א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1)}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le1</math> . ;פתרוןאם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0</math> נקבל <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math> . אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\forall n>N_\varepsilon:\Bigg|\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right|-|L|\Bigg|\le\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\right|<\varepsilon</math> . נובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|> (לא |L|-\varepsilon)|x_n|</math> . נניח כעת בשלילה כי <math>|L|>1</math> , ניקח <math>\varepsilon=|L|-1</math> ונקבל כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|</math> בסתירה לכך ש- <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>  ב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים . ;פתרוןנתבונן בסדרה <math>x_n=\begin{cases}\dfrac1n&n\text{ odd}\\0&n\text{ even}\end{cases}</math> ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים. ==חוק הסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L</math> אזי בהכרח <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> .  <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>מצא את גבול לסדרה זוהסדרה <math>(2^n+3^n)^\frac1n</math> ;פתרון:<math>3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n</math> לכן,:<math>3=(3^n)^\frac1n\le(2^n+3^n)^\frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3</math>כיון שמתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1</math>  סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3 .

<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>  דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים. <font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math> . הערה: שימו לב כי <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס. ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>-\infty</math> דומה עם שינויים קלים בהתאם.  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n!}</math>

הערה;פתרוןנוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.: שימו לב ש-M בדומה לאפסילון מודד מרחק, <math>n!=1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdots n</math> (המקרה בו <math>n</math> אינו זוגי מאד דומה אך מכיוון שההגבלה כאן היא חמורה דורש התעסקות עדינה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן, לא נפרט לגביו) אנו מסמנים מרחק זה באות M ולא באות אפסילון. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.*נקטין את החצי הראשון של האברים להיות 1, ואת החצי השני של האברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל::<math>n!\ge\dfrac{n}{2}\cdots\dfrac{n}{2}=\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}</math>ולכן,:<math>\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\dfrac{n}{2}}\to\infty</math>

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאםקל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.