שינויים

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>  ===ההגדרה המדויקת של סדרה===<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים. באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots\in\mathbb{R}</math>).

<math>\bigg\{\frac{1}frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{4}frac14,\frac{1}{8}frac18,...\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה של סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>. 

במקרה זה מסמנים <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}a_n=L</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שנקודה <math>\epsilon>0L</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}a_n</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה '''קיים''' מקום בסדרה <math>a_n(N_\varepsilon\in\N)</math> [מכסה]

אם '''לכל''' אורך (<math>\epsilon>0</math>) [סיר] '''קיים''' מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math>) [מכסה] כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה והנקודה <math>L </math> קטן מהאורך <math>\epsilonvarepsilon</math> (<math>(|a_n-L|<\epsilonvarepsilon)</math>) [מתאים לו]

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו הנו 1. נוכיח זאת.

'''יהי אפסילון גדול מאפס'''<math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים לעתים תכופות. מכיוון מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' אפסילון<math>\varepsilon</math> , אם נוכיח אותה לאפסילון ל- <math>\varepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון<math>\varepsilon</math> . כלומר:

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|=\left|-\frac1n\frac{-1}{n}right|=\frac{1}{n}frac1n</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac{1}{n}dfrac1n<\epsilonvarepsilon</math>, . זה נכון אם"ם <math>n>\frac{1}dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math>.

 <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד1. כעת, יהי אפסילון כלשהו<math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון. כלומר<math>\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\epsilonvarepsilon</math>.

זה שקול ל- <math>-\epsilonvarepsilon<a_n-1<\epsilonvarepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\epsilonvarepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כיוון כיון ש - <math>n\geq 1ge1</math> הצד השמאלי טריוויאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonvarepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים נביט בביטוי <math>n<(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

נביט בביטוי :<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא <math>\fracdfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math>. בסה"כ אנו מקבלים:

::(כאשר <math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, <math>\dfrac{n(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנוn-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> .לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

אם כךומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, <math>\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא אחרי מקום מסוים בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(nאי-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגילהשוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

::אם כן, הוכחנו כי <math>n<\fraclim_{n(n-1)\to\infty}\sqrt[n]{2n}\epsilon^2=1</math>.

::<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2blacksquare</math>

:==שלילת גבול==:<math>L</math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש-1<math>|a_n-L|\frac{2}{ge\epsilon^2}varepsilon</math>.

וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

אם כן, הוכחנו נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו. נניח עוד כי<math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

:::ניקח <math>\lim_{nvarepsilon=1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\rightarrowvarepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\infty}in\sqrt[N</math> וניקח <math>n]{n}=1</math>אי-זוגי גדול ממנו.

במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=שלילת גבול1+L\ge1=='''שלילת הגבול\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.''' )

:L '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|\geq\epsilonblacksquare</math>

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח <math>\epsilon font size= 1</math4 color=#a7adcd> (הרי צריך להוכיח כי '''קייםתרגיל.''' אפסילון). כעת, יהי <math>N\in\mathbb{N}</mathfont> ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה מצא את גבול הסדרה <math>|a_n-L|=|-1-L|=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+L\geq 1=\epsilonn^4}</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==;פתרון'''משפט.''' תהי נחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>a_n\rightarrow Ln^7</math> (סדרה השואפת לגבול L) ותהי ונקבל <math>b_na_n=\rightarrow K</math> אזי:*<math>\lim_dfrac{3+5n^{-5}+n\rightarrow\infty^{-7}(a_n}{6+b_n)=L+Kn^{-3}}</math>*. חזקות שליליות של <math>\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K</math>*אם <math>K\neq שואפות ל-0</math> אזי ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}frac36=\frac{L}{K}frac12</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''פתרוןתרגיל.'''.</font>

נחלק את המונה ואת המכנה ב- נניח <math>n^7a_n\to0</math>. נקבל ולסדרה <math>a_n=\frac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}b_n</math>אין גבול. חזקות שליליות של n שואפות לאפס ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות האם אנו רואים כי הגבול שווה ל- יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>\frac{3}{6}c_n=a_n\frac{1}{2}cdot b_n</math>.?

*<font sizemath>a_n=4 color\frac1n,b_n=#a7adcdn</math>אזי'''תרגיל.''' :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</fontmath>

נניח *<math>a_n=\rightarrow 0</math> ולסדרה <math>dfrac1n,b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה אזי:<math>c_n:=\displaystyle\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\Big[(-1)^n+1\Big]</math>?(לא קיים גבול לסדרה זו)

*<math>a_nfont size=\frac{1}{n},b_n4 color=(-1)^n</math#a7adcd> אזי ::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0'''תרגיל חשוב מאד.'''</mathfont>

*תהי סדרה <math>a_n=\frac{1}{n},to0</math> ותהי <math>b_n=n</math> אזי ::סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n}=1</math>מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

*<math>a_n=\frac{1}{n},b_n=n^2((-1)^n+1)</math> אזי:הוכח:<math>\notlim\exists\lim_limits_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n=(a_n\lim_{n\rightarrow\infty}((-1)^n+1cdot b_n)=0</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.''' </font>תהי סדרה לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\rightarrow 0cdot b_n|</math> ותהי <math>b_nM\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> סדרה '''חסומה'''כפי שרצינו. (כלומר, קיים M כך שלכל מקום בסדרה n מתקיים <math>|a_n|<M\blacksquare</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

:הוכח: <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font><math>a_nb_n\rightarrow lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>

:<math>|a_nb_n|font size=|a_n|\cdot |b_n|\leq M\cdot |a_n|</math4 color=#a7adcd>'''תרגיל. מכיוון שידוע כי הסדרה <math>a_n'''</mathfont> שואפת לאפס, יש מקום מסויים שהחל ממנו והלאה מתקיים מצא את הגבול <math>|a_n|<\fraclim\limits_{n\epsilonto\infty}{M}</math> (כיוון ש<math>\frac{Big[\epsilon}sqrt{Mn^2+1}-n\Big]</math> הינו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים ;פתרון<math>|a_nb_n|<M\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\epsilonsqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{Mn^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\epsilonlim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math> כפי שרצינו.

==אי-שוויון הממוצעים==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה): לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מתקיים: <math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\times\cdots\times x_n}\le\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}</math> הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני". '''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד! אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=L</math> .  ;משפטתהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . ;הוכחהנגדיר סדרה <math>\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math> . זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\times\cdots\times b_n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . ברור כי <math>\displaystyle b_1\times\cdots\times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math> ולכן קיבלנו כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>  כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . ;הוכחה:אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמאתרגיל.''' </font>תהי סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty\to a</math> . א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le1</math> . ;פתרוןאם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0</math> נקבל <math>\displaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\sinfrac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math> . אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\forall n>N_\varepsilon:\Bigg|\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right|-|L|\Bigg|\le\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\right|<\varepsilon</math> . נובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>(|L|-\varepsilon)|x_n|</math> . נניח כעת בשלילה כי <math>|L|>1</math> , ניקח <math>\varepsilon=|L|-1</math> ונקבל כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|</math> בסתירה לכך ש- <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>  ב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים. ;פתרוןנתבונן בסדרה <math>x_n=\begin{cases}\dfrac1n&n\text{ odd}\\0&n\text{ even}\end{cases}</math> ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים. ==חוק הסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר)יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\lnto\infty}c_n=L</math> אזי בהכרח <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> .  <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^\frac1n</math> ;פתרון:<math>3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n</math> לכן,:<math>3=(3^n)^\frac1n\le(2^n+3^n)^\frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3</math>כיון שמתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=01</math>  סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3 .

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' U5RUHjrHVGI</font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</mathvideoflash>

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאםדיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

<font size=4 color=#a7adcd3c498e>'''תרגילהגדרה.''' </font>מצא את גבול הסדרה תהא <math>a_n=</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\sqrt[in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n]{n!}>N_M</math>מתקיים <math>a_n>M</math> .

'''פתרון.''' נוכיח הערה: שימו לב כי סדרה <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוףלאורך הקורס.

:::ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>n!=1-\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots ninfty</math> (המקרה בו n אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו)עם שינויים קלים בהתאם.

:::<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>n!\geq \frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}a_n=(\frac{sqrt[n}{2})^{\frac]{n}{2}!}</math>

:::<math>\sqrt[n]{n!}\geq\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow\infty</math> קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.