שינויים

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>  ===ההגדרה המדויקת של סדרה===<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים. באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots\in\mathbb{R}</math>).

<math>\bigg\{\frac{1}frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{4}frac14,\frac{1}{8}frac18,...\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה של סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>. 

במקרה זה מסמנים <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}a_n=L</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שנקודה <math>\epsilon>0L</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}a_n</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה '''קיים''' מקום בסדרה <math>a_n(N_\varepsilon\in\N)</math> [מכסה]

אם '''לכל''' אורך (<math>\epsilon>0</math>) [סיר] '''קיים''' מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math>) [מכסה] כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה והנקודה <math>L </math> קטן מהאורך <math>\epsilonvarepsilon</math> (<math>(|a_n-L|<\epsilonvarepsilon)</math>) [מתאים לו]

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו הנו 1. נוכיח זאת.

'''יהי אפסילון גדול מאפס'''<math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים לעתים תכופות. מכיוון מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' אפסילון<math>\varepsilon</math> , אם נוכיח אותה לאפסילון ל- <math>\varepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון<math>\varepsilon</math> . כלומר:

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|=\left|-\frac1n\frac{-1}{n}right|=\frac{1}{n}frac1n</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac{1}{n}dfrac1n<\epsilonvarepsilon</math>, . זה נכון אם"ם <math>n>\frac{1}dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math>.

 <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד1. כעת, יהי אפסילון כלשהו<math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון. כלומר<math>\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\epsilonvarepsilon</math>.

זה שקול ל- <math>-\epsilonvarepsilon<a_n-1<\epsilonvarepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\epsilonvarepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כיוון כיון ש - <math>n\geq 1ge1</math> הצד השמאלי טריוויאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonvarepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים נביט בביטוי <math>n<(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

נביט בביטוי :<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא <math>\fracdfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math>. בסה"כ אנו מקבלים:

::(כאשר <math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, <math>\dfrac{n(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנוn-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> .לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

אם כךומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, <math>\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא אחרי מקום מסוים בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(nאי-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגילהשוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

::אם כן, הוכחנו כי <math>n<\fraclim_{n(n-1)\to\infty}\sqrt[n]{2n}\epsilon^2=1</math>.

::<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2blacksquare</math>

:==שלילת גבול==:<math>L</math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש-1<math>|a_n-L|\frac{2}{ge\epsilon^2}varepsilon</math>.

וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

אם כן, הוכחנו נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו. נניח עוד כי<math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

:::ניקח <math>\lim_{nvarepsilon=1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\rightarrowvarepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\infty}in\sqrt[N</math> וניקח <math>n]{n}=1</math>אי-זוגי גדול ממנו.

במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=אי שוויון הממוצעים1+L\ge1==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי שוויון הממוצעים \epsilon</math> כפי שרצינו. (אותו לא נוכיח בשלב זהשימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.):

לכל <math>n\blacksquare</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,...,x_n</math> מתקיים:

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==;משפטתהיינה <math>\fraclim\limits_{n\to\infty}{a_n=A,\fraclim\limits_{1n\to\infty}b_n=B</math> . אזי:*<math>\lim_{x_1n\to\infty}+(a_n\fracpm b_n)=A\pm B</math>*<math>\lim_{1n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math>*אם <math>B\ne0</math> אזי <math>\displaystyle\lim_{x_2n\to\infty}+...+\frac{1a_n}{x_nb_n}}\leq \sqrt[n]{x_1x_2....x_n} \leq =\frac{x_1+x_2+...+x_nA}{nB}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''טענהתרגיל.''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> .

אם ;פתרוןנחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> ונקבל <math>\{a_n=\dfrac{3+5n^{-5}+n^\infty_{-7}}{6+n=1^{-3}}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול . חזקות שליליות של <math>Ln</math> אזי מתקיים:שואפות ל-0 ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}frac36=L\frac12</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''משפטתרגיל.'''</font>

תהי נניח <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}to0</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול ולסדרה <math>lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}b_n</math> אזי אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>\{\sqrt[n]{a_n} \}^\infty_{nc_n=1}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}cdot b_n</math>.?

תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:*<math>a_n=\dfrac1n,b_n=שלילת גבול(-1)^n</math> אזי :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}='''שלילת הגבול.''' 0</math>

:L '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' *<math>a_n=\epsilon>0frac1n,b_n=n</math> כך ש'''לכל''' אזי:<math>N\indisplaystyle\mathbblim_{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|\to\infty}(a_n-L|\geqcdot b_n)=\epsilonlim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math>

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח <math>\epsilon font size= 1</math4 color=#a7adcd> (הרי צריך להוכיח כי '''קייםתרגיל חשוב מאד.''' אפסילון). כעת, יהי <math>N\in\mathbb{N}</mathfont> ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq 1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות=='''משפט.''' תהי סדרה <math>a_n\rightarrow Lto0</math> (סדרה השואפת לגבול L) ותהי <math>b_n\rightarrow K</math> אזי:*סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=L+KM</math>*כך שלכל מקום בסדרה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K</math>*אם מתקיים <math>K\neq 0|b_n|</math> אזי <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{K}M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה הוכח: <math>a_n=\fraclim\limits_{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4\to\infty}(a_n\cdot b_n)=0</math>.

'''פתרון''';הוכחהיהי <math>\varepsilon>0</math> , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\Big|a_n\cdot b_n-0\Big|<\varepsilon</math> .

נחלק את המונה ואת המכנה ב- :<math>n^7|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n|</math>. נקבל מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n=\fracto0</math> , יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\dfrac{3+5n^{-5\varepsilon}+n^{-7}}{6+n^{-3}M}</math>. חזקות שליליות של n שואפות לאפס ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל(כיון ש- <math>\fracdfrac{3}{6}=\frac{1varepsilon}{2M}</math>הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגילדוגמא.''' </font><math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>

תשובה: לא<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל. כל האפשרויות מתקבלות:'''</font>מצא את הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]</math>

*;פתרון<math>a_n=\fracdisplaystyle\begin{1align}\lim_{n\to\infty},b_n\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n</math> אזי ::<math>}=\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\rightarrowto\infty}\fracfrac1{(-\sqrt{n^2+1)}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math>

*<math>a_n=\frac{1}{n},b_n=n</math> אזי אי-שוויון הממוצעים==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה)::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n}=1</math>

*לכל <math>a_n=\frac{1}{n},b_n=n^2((-1)^n+1)</math> אזי::מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,\not\exists\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}((-1)^n+1)ldots,x_n</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)מתקיים:

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.טענה''' </font>תהי סדרה <math>a_n\rightarrow 0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים M כך שלכל מקום בסדרה n מתקיים <math>|a_n|<M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).- אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!

אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:הוכח: <math>a_nb_n\rightarrow 0lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=L</math>.

:;משפטתהי <math>|a_nb_n|=|\{a_n|\cdot |b_n|}_{n=1}^\leq M\cdot |a_n|infty</math>סדרת מספרים חיוביים. מכיוון שידוע כי הסדרה אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> שואפת לאפס, יש מקום מסויים שהחל ממנו והלאה מתקיים אזי הסדרה <math>|a_n|<\fracbig\{\epsilonsqrt[n]{a_n}\big\}_{Mn=1}^\infty</math> (כיוון שמתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\fracdisplaystyle\lim_{n\epsilonto\infty}\sqrt[n]{Ma_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> הינו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים ;הוכחהנגדיר סדרה <math>|a_nb_n|<M\frac{b_n\epsilon}_{Mn=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\epsilondfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math> כפי שרצינו.זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font><math>\displaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}\fracsqrt[n]{b_1\sin(times\cdots\times b_n}=\lim_{n)\to\infty}b_n=\lim_{n\ln(to\infty}\frac{a_n}{a_{n)-1}}=0</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את הגבול ולכן קיבלנו כי <math>\displaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n^2+1\to\infty}-\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>

'''פתרוןכעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .'''

;הוכחה:אם נרשום <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}-na_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=0</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:

<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <font sizemath>L=4 color=#a7adcd\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le1</math>'''דוגמא.''' ;פתרוןאם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0</fontmath>מצא את גבול הסדרה נקבל <math>(2^\displaystyle\lim_{n+3^\to\infty}\frac{x_{n)^+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math>.

'''פתרוןנובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>(|L|-\varepsilon)|x_n|</math> .'''

::נניח כעת בשלילה כי <math>|L|>1</math> , ניקח <math>3^n\leq 2^n+3^nvarepsilon=|L|-1</math> ונקבל כי <math>\leq 3^forall n+3^n = 2>N_\cdot 3^varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|</math>

::;פתרוןנתבונן בסדרה <math>x_n=\lim 2^\fracbegin{1cases}\dfrac1n&n\text{odd}\\0&n\text{ even}\end{cases}=1</math>

==חוק הסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L</math> אזי בהכרח <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> .  <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^\frac1n</math> ;פתרון:<math>3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n</math> לכן,:<math>3=(3^n)^\frac1n\le(2^n+3^n)^\frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3</math>כיון שמתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1</math>  סה"כ שני צידי צדי אי השיוויון -השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדביץהסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3.

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' U5RUHjrHVGI</font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</mathvideoflash>

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאםדיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

<font size=4 color=#a7adcd3c498e>'''תרגילהגדרה.''' </font>מצא את גבול הסדרה תהא <math>a_n=</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\sqrt[in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n]{n!}>N_M</math>מתקיים <math>a_n>M</math> .

'''פתרון.''' נוכיח הערה: שימו לב כי סדרה <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוףלאורך הקורס.

:::ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>n!=1-\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots ninfty</math> (המקרה בו n אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו)עם שינויים קלים בהתאם.

:::<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>n!\geq \frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}a_n=(\frac{sqrt[n}{2})^{\frac]{n}{2}!}</math>

:::<math>\sqrt[n]{n!}\geq\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow\infty</math> קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.