שינויים

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>  ===ההגדרה המדויקת של סדרה===<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים. באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots\in\mathbb{R}</math>).

<math>\bigg\{\frac{1}frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{4}frac14,\frac{1}{8}frac18,...\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה של סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>. 

במקרה זה מסמנים <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}a_n=L</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שנקודה <math>\epsilon>0L</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}a_n</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה '''קיים''' מקום בסדרה <math>a_n(N_\varepsilon\in\N)</math> [מכסה]

אם '''לכל''' אורך (<math>\epsilon>0</math>) [סיר] '''קיים''' מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math>) [מכסה] כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה והנקודה <math>L </math> קטן מהאורך <math>\epsilonvarepsilon</math> (<math>(|a_n-L|<\epsilonvarepsilon)</math>) [מתאים לו]

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו הנו 1. נוכיח זאת.

'''יהי אפסילון גדול מאפס'''<math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים לעתים תכופות. מכיוון מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' אפסילון<math>\varepsilon</math> , אם נוכיח אותה לאפסילון ל- <math>\varepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון<math>\varepsilon</math> . כלומר:

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|=|\frac{left|-1}{n}\frac1n\right|=\frac{1}{frac1n</math> כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\dfrac1n<\varepsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\dfrac1{\varepsilon}</math>.

כעתנבחר, אפוא, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>N_\fracvarepsilon>\dfrac1{1}{n\varepsilon}</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math>, זה נכון אם"ם מתקיים <math>n>N_\frac{1}varepsilon>\dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

נבחר, אפוא, <mathfont size=4 color=#a7adcd>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}'''תרגיל.'''</mathfont> כלשהו (מותר כיוון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור הוכיחו לפי הגדרה כי לכל מתקיים: <math>\lim\limits_{n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>n>N_{to\epsiloninfty}>\fracdfrac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\epsilon}dfrac13</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי אפסילון כפי שרצינו.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד1. כעת, יהי אפסילון כלשהו<math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון. כלומר<math>\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\epsilonvarepsilon</math>.

זה שקול ל- <math>-\epsilonvarepsilon<a_n-1<\epsilonvarepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\epsilonvarepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כיוון כיון ש - <math>n\geq 1ge1</math> הצד השמאלי טריוויאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonvarepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים נביט בביטוי <math>n<(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

נביט בביטוי :<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא <math>\fracdfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math>. בסה"כ אנו מקבלים:

::(כאשר <math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, <math>\dfrac{n(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנוn-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> .לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

אם כךומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, <math>\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא אחרי מקום מסוים בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(nאי-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגילהשוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

::אם כן, הוכחנו כי <math>n<\fraclim_{n(n-1)\to\infty}\sqrt[n]{2n}\epsilon^2=1</math>.

::<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2blacksquare</math>

:==שלילת גבול==:<math>L</math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש-1<math>|a_n-L|\frac{2}{ge\epsilon^2}varepsilon</math>.

וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

אם כן, הוכחנו נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו. נניח עוד כי<math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

:::ניקח <math>\lim_{nvarepsilon=1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\rightarrowvarepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\infty}in\sqrt[N</math> וניקח <math>n]{n}=1</math>אי-זוגי גדול ממנו.

במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=אי שוויון הממוצעים1+L\ge1==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי שוויון הממוצעים \epsilon</math> כפי שרצינו. (אותו לא נוכיח בשלב זהשימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.):

לכל <math>n\blacksquare</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,...,x_n</math> מתקיים:

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==;משפטתהיינה <math>\fraclim\limits_{n\to\infty}{a_n=A,\fraclim\limits_{1n\to\infty}b_n=B</math> . אזי:*<math>\lim_{x_1n\to\infty}+(a_n\fracpm b_n)=A\pm B</math>*<math>\lim_{1n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math>*אם <math>B\ne0</math> אזי <math>\displaystyle\lim_{x_2n\to\infty}+...+\frac{1a_n}{x_nb_n}}\leq \sqrt[n]{x_1x_2....x_n} \leq =\frac{x_1+x_2+...+x_nA}{nB}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''טענהתרגיל.''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> .

אם ;פתרוןנחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> ונקבל <math>\{a_n=\dfrac{3+5n^{-5}+n^\infty_{-7}}{6+n=1^{-3}}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול . חזקות שליליות של <math>Ln</math> אזי מתקיים:שואפות ל-0 ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}frac36=L\frac12</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''משפטתרגיל.'''</font>

תהי נניח <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}to0</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול ולסדרה <math>lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}b_n</math> אזי אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>\{\sqrt[n]{a_n} \}^\infty_{nc_n=1}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}cdot b_n</math>.?

נגדיר סדרה *<math>a_n=\{b_m\}^{\infty}_{frac1n,b_n=n=1}</math> על ידי <math>b_1=a_1</math> ו- אזי:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{a_nn}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>=1</math>. זוהי סדרה של מספרים חיוביים ולכן על פי הטענה הקודמת מתקיים:

*<math>lim_{a_n=\dfrac1n,b_n=n^2\rightarrow big((-1)^n+1\infty} big)</math> אזי:<math>\displaystyle\not\exists\sqrt[n]{b_1b_2...b_n}=lim_{n\rightarrow to\infty} (a_n\cdot b_n)=\lim_{n\rightarrow to\infty} \frac{a_n}{a_{nBig[(-1}})^n+1\Big]</math>.(לא קיים גבול לסדרה זו)

<mathfont size=4 color=#a7adcd>b_1b_2'''תרגיל חשוב מאד...b_n=\frac{a_1}{1} \frac{a_2}{a_1}...\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n'''</mathfont>

ולכן קיבלנו כי תהי סדרה <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{to0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n-1}}</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math>. מש"לישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

כעת נוכיח בדרך אחרת כי ;הוכחהיהי <math>lim_{n\rightarrow varepsilon>0</math> , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\infty} Big|a_n\cdot b_n-0\Big|<\sqrt[n]{n}=1varepsilon</math>.

אם נרשום לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=n\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font><math>lim_{n\rightarrow lim\infty} \sqrt[n]{n}=lim_limits_{n\rightarrow to\infty}\sqrt[n]dfrac{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{sin(n-1)}}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{ln(n-1)}=10</math>. מש"ל.

:L <font size=4 color=#a7adcd>'''אינו''' גבול של סדרה אם '''קייםתרגיל.''' <math>\epsilon>0</mathfont> כך ש'''לכל''' מצא את הגבול <math>N\inlim\mathbblimits_{Nn\to\infty}</math> '''קיים''' <math>\Big[\sqrt{n>N</math> כך ש <math>|a_n^2+1}-L|\geqn\epsilonBig]</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>הוכח שלסדרה <math>a_nאי-שוויון הממוצעים=(=כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-1)^n</math> שוויון הממוצעים (אותו לא קיים גבולנוכיח בשלב זה):

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח לכל <math>\epsilon = 1n</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' אפסילון). כעת, יהי מספרים ממשיים חיוביים <math>Nx_1,\in\mathbb{N}</math> ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq 1=\epsilonldots,x_n</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)מתקיים:

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות=='''משפט.''' תהי <math>a_n\rightarrow L</math> (סדרה השואפת לגבול L) ותהי <math>b_n\rightarrow K</math> אזי:*<math>\lim_frac{n}{\rightarrow\inftyfrac1{x_1}(a_n+b_n)=L\cdots+K</math>*<math>\lim_frac1{n\rightarrow\inftyx_n}}(a_n\cdot b_n)=Lle\cdot K</math>*אם <math>Ksqrt[n]{x_1\neq 0</math> אזי <math>times\lim_{ncdots\rightarrowtimes x_n}\infty}le\frac{a_n}{b_n}=x_1+\frac{Lcdots+x_n}{Kn}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\frac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math>הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני".

'''פתרוןטענה'''.- אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!

נחלק את המונה ואת המכנה ב- אם <math>\{a_n\}^\infty_{n^7=1}</math>. נקבל היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>a_n=\frac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}L</math>. חזקות שליליות של n שואפות לאפס ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- אזי מתקיים:<math>\fraclim\limits_{3n\to\infty}\sqrt[n]{6a_1\times\cdots\times a_n}=\frac{1}{2}L</math>.

;משפטתהי <font sizemath>\{a_n\}_{n=4 color=#a7adcd1}^\infty</math>'''תרגילסדרת מספרים חיוביים.''' אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty</fontmath>מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

נניח ;הוכחהנגדיר סדרה <math>a_n\rightarrow 0{b_n\}_{n=1}^\infty</math> ולסדרה על-ידי <math>b_nb_1=a_1</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה ו- <math>c_n:b_n=\dfrac{a_n\cdot b_n}{a_{n-1}}</math>?לכל <math>n>1</math> . זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

תשובה: לא<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\times\cdots\times b_n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . כל האפשרויות מתקבלות:

*<math>a_n\displaystyle b_1\times\cdots\times b_n=\frac{1a_1}{n1},b_n=n</math> אזי ::<math>\lim_cdot\frac{na_2}{a_1}\rightarrowcdots\inftyfrac{a_{n-1}}a_nb_n=\lim_{a_{n\rightarrow\infty-2}}\cdot\frac{na_n}{a_{n-1}}=1a_n</math>

*ולכן קיבלנו כי <math>a_n=\frac{1}{n},b_n=n^2((-1)^n+1)</math> אזי::<math>\not\existsdisplaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrowto\infty}((\frac{a_n}{a_{n-1)^n+1)}}</math> . <math>\blacksquare</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.''' ;הוכחה:</font>תהי סדרה אם נרשום <math>a_n\rightarrow 0=n</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים M כך שלכל מקום בסדרה n אזי לפי המשפט הקודם מתקיים <math>|a_n|<M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).:

:הוכח: <math>a_nb_n\rightarrow 0displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

:<math>|a_nb_n|font size=|a_n|\cdot |b_n|\leq M\cdot |a_n|</math4 color=#a7adcd>'''תרגיל. מכיוון שידוע כי הסדרה <math>a_n'''</mathfont> שואפת לאפס, יש מקום מסויים שהחל ממנו והלאה מתקיים תהי סדרה <math>|a_n|<\frac{x_n\epsilon}_{Mn=1}</math> (כיוון ש<math>^\frac{infty\epsilon}{M}to a</math> הינו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|a_nb_nL|\le1<M/math> . ;פתרוןאם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0</math> נקבל <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\epsiloninfty}x_{Mn+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\epsilonfrac{a}{a}=1</math> כפי שרצינו.

אחרת, <font size=4 color=#a7adcdmath>'''דוגמא.''' \lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</fontmath>. מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\lim_{forall n>N_\rightarrowvarepsilon:\infty}Bigg|\frac{left|\sin(dfrac{x_{n)+1}}{x_n}\ln(right|-|L|\Bigg|\le\left|\dfrac{x_{n)+1}=0}{x_n}-L\right|<\varepsilon</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את הגבול בסתירה לכך ש- <math>\displaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}x_n=\sqrtlim_{n^2+1\to\infty}-n|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>

'''פתרוןב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.'''

;פתרוןנתבונן בסדרה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}-nx_n=\lim_begin{n\rightarrow\inftycases}\frac{(\sqrt{dfrac1n&n^2+1}-n)(\sqrttext{n^2+1odd}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{0&n\rightarrow\infty}\fractext{n^2+1-n^2even}{\sqrtend{n^2+1cases}+n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=0</math>

ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math>אינו קיים.

==חוק הסנדביץהסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור בינהם ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\leq le b_n\leq le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim lim_{n\to\infty}c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim lim_{n\to\infty}b_n = L</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}frac1n</math>

 ''';פתרון.''' ::<math>3^n\leq 2le2^n+3^n\leq 3le3^n+3^n = 2\cdot 3cdot3^n</math>

כיוון שמתקיים ::<math>\lim 2^\frac{1}{n}=1</math>  סה"כ שני צידי צדי אי השיוויון -השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדביץהסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3.

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' U5RUHjrHVGI</font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</mathvideoflash>

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאםדיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

<font size=4 color=#a7adcd3c498e>'''תרגילהגדרה.''' </font>מצא את גבול הסדרה תהא <math>a_n=</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\sqrt[in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n]{n!}>N_M</math>מתקיים <math>a_n>M</math> .

'''פתרון.''' נוכיח הערה: שימו לב כי סדרה <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוףלאורך הקורס.

:::ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>n!=1-\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots ninfty</math> (המקרה בו n אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו)עם שינויים קלים בהתאם.

:::<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>n!\geq \frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}a_n=(\frac{sqrt[n}{2})^{\frac]{n}{2}!}</math>

:::<math>\sqrt[n]{n!}\geq\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow\infty</math> קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.