שינויים

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>  ===ההגדרה המדויקת של סדרה===<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים. באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots\in\mathbb{R}</math>).

<math>\bigg\{\frac{1}frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{4}frac14,\frac{1}{8}frac18,...\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה של סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>. 

במקרה זה מסמנים <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}a_n=L</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שנקודה <math>\epsilon>0L</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}a_n</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה '''קיים''' מקום בסדרה <math>a_n(N_\varepsilon\in\N)</math> [מכסה]

אם '''לכל''' אורך (<math>\epsilon>0</math>) [סיר] '''קיים''' מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math>) [מכסה] כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}varepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה והנקודה <math>L </math> קטן מהאורך <math>\epsilonvarepsilon</math> (<math>(|a_n-L|<\epsilonvarepsilon)</math>) [מתאים לו]

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו הנו 1. נוכיח זאת.

'''יהי אפסילון גדול מאפס'''<math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים לעתים תכופות. מכיוון מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' אפסילון<math>\varepsilon</math> , אם נוכיח אותה לאפסילון ל- <math>\varepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון<math>\varepsilon</math> . כלומר:

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\left|\fracdfrac{n-1}{n}-1\right|=|\frac{left|-1}{n}\frac1n\right|=\frac{1}{frac1n</math> כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\dfrac1n<\varepsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\dfrac1{\varepsilon}</math>.

כעתנבחר, אפוא, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>N_\fracvarepsilon>\dfrac1{1}{n\varepsilon}</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math>, זה נכון אם"ם מתקיים <math>n>N_\frac{1}varepsilon>\dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

נבחר, אפוא, <mathfont size=4 color=#a7adcd>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}'''תרגיל.'''</mathfont> כלשהו (מותר כיוון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור הוכיחו לפי הגדרה כי לכל מתקיים: <math>\lim\limits_{n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>n>N_{to\epsiloninfty}>\fracdfrac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\epsilon}dfrac13</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי אפסילון כפי שרצינו.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד1. כעת, יהי אפסילון כלשהו<math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי אפסילון. כלומר<math>\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\epsilonvarepsilon</math>.

זה שקול ל- <math>-\epsilonvarepsilon<a_n-1<\epsilonvarepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\epsilonvarepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כיוון כיון ש - <math>n\geq 1ge1</math> הצד השמאלי טריוויאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonvarepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים נביט בביטוי <math>n<(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

נביט בביטוי :<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא <math>\fracdfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math>. בסה"כ אנו מקבלים:

::(כאשר <math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, <math>\dfrac{n(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנוn-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> .לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

אם כךומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, <math>\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא אחרי מקום מסוים בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(nאי-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגילהשוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

::אם כן, הוכחנו כי <math>n<\fraclim_{n(n-1)\to\infty}\sqrt[n]{2n}\epsilon^2=1</math>.

::<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2blacksquare</math>

:==שלילת גבול==:<math>L</math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש-1<math>|a_n-L|\frac{2}{ge\epsilon^2}varepsilon</math>.

וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

אם כן, הוכחנו נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו. נניח עוד כי<math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

:::ניקח <math>\lim_{nvarepsilon=1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\rightarrowvarepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\infty}in\sqrt[N</math> וניקח <math>n]{n}=1</math>אי-זוגי גדול ממנו.

==שלילת גבול=='''שלילת הגבול.'''  :L '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\geqge1=\epsilon</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגילכפי שרצינו.''' </font>הוכח שלסדרה (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>a_n=(-1)^nL</math> לא קיים גבולאינו שלילי.)

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח <math>\epsilon = 1blacksquare</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' אפסילון). כעת, יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq 1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)

''';משפט.''' תהי תהיינה <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A,\rightarrow L</math> (סדרה השואפת לגבול L) ותהי <math>b_nlim\rightarrow Klimits_{n\to\infty}b_n=B</math> . אזי:*<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}(a_n+\pm b_n)=L+KA\pm B</math>*<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}(a_n\cdot b_n)=LA\cdot KB</math>*אם <math>KB\neq 0ne0</math> אזי <math>\displaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{LA}{KB}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''פתרוןתרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> .

;פתרוןנחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math>. נקבל ונקבל <math>a_n=\fracdfrac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math>. חזקות שליליות של <math>n </math> שואפות לאפס ל-0 ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- <math>\frac{3}{6}frac36=\frac{1}{2}frac12</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

נניח <math>a_n\rightarrow 0to0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n:=a_n\cdot b_n</math>?

*<math>a_n=\frac{1}{n}frac1n,b_n=(-1)^n</math> אזי ::<math>\displaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{(-1)^n}{n}=01</math>

*<math>a_n=\frac{1}{n}dfrac1n,b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי ::<math>\displaystyle\not\exists\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{Big[(-1)^n}{n}=+1\Big]</math>(לא קיים גבול לסדרה זו)

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.''' </font>תהי סדרה הוכח: <math>\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\rightarrow cdot b_n)=0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים M כך שלכל מקום בסדרה n מתקיים <math>|a_n|<M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

:הוכח: ;הוכחהיהי <math>a_nb_n\rightarrow varepsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\Big|a_n\cdot b_n-0\Big|<\varepsilon</math> .

'''הוכחה:<math>|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n|</math> .'''יהי אפסילון גדול מאפסמכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n\to0</math> , צריך למצוא יש מקום בסדרה מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_nb_n-0a_n|<\epsilondfrac{\varepsilon}{M}</math>(כיון ש- <math>\dfrac{\varepsilon}{M}</math> הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

:לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_nb_n|=|a_n|\cdot |b_n|\leq <M\cdot |a_n|</math>. מכיוון שידוע כי הסדרה <math>a_n</math> שואפת לאפס, יש מקום מסויים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\fracdfrac{\epsilonvarepsilon}{M}=\varepsilon</math> (כיוון שכפי שרצינו. <math>\frac{\epsilon}{M}blacksquare</math> הינו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים <mathfont size=4 color=#a7adcd>|a_nb_n|'''דוגמא.'''<M/font><math>\fraclim\limits_{n\epsilonto\infty}\dfrac{M\sin(n)}={\epsilonln(n)}=0</math> כפי שרצינו.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>אי-שוויון הממוצעים==מצא את הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-n</math>שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):

'''פתרון.''' <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}-n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrtfrac1{n^2+1x_1}+n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2cdots+1-n^2}{\sqrtfrac1{n^2+1x_n}+n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{le\sqrt{[n^2+1}+n}=0 </math> ==אי שוויון הממוצעים==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה): לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,...,x_n</math> מתקיים: <math>\frac{n}{\frac{1}]{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+times\frac{1}{x_n}}cdots\leq \sqrt[n]{x_1x_2....times x_n} \leq le\frac{x_1+x_2+...\cdots+x_n}{n}</math>

אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:<math>lim_\lim\limits_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_1\times\cdots\times a_n}=L</math>.

''';משפט'''תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

תהי ;הוכחהנגדיר סדרה <math>\{a_nb_n\}^\infty__{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול על-ידי <math>lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}b_1=a_1</math> אזי הסדרה ו- <math>b_n=\{\sqrt[n]dfrac{a_n} \}^\infty_{a_{n=-1}}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: לכל <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n->1}}</math>.זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

<math>lim_{n\rightarrow displaystyle b_1\infty} times\sqrt[n]{b_1b_2...cdots\times b_n}=lim_\frac{na_1}{1}\rightarrow cdot\inftyfrac{a_2} b_n=lim_{na_1}\rightarrow cdots\inftyfrac{a_{n-1} }{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>.

ברור ולכן קיבלנו כי<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>

ולכן קיבלנו כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>lim_\lim\limits_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{a_nn}=lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math>. מש"ל.

כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\displaystyle\lim_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math>.<math>\blacksquare</math>

אם נרשום <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>תהי סדרה <math>a_n=\{x_n\}_{n=1}^\infty\to a</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:.

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>lim_L=\lim\limits_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]dfrac{x_{n+1}}=lim_{x_n}</math> אזי <math>|L|\le1</math> . ;פתרוןאם <math>\lim\limits_{n\rightarrow to\infty}x_n\ne0</math> נקבל <math>\displaystyle\sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow to\infty} \frac{a_nx_{n+1}}{a_x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-+1}}=lim_{\lim\limits_{n\rightarrow to\infty} x_n}=\frac{na}{n-1a}=1</math>. מש"ל.

==חוק הסנדביץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור בינהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים בסתירה לכך ש- <math>\forall displaystyle\lim_{n:a_n\leq b_nto\leq c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim a_ninfty}x_n=\lim c_n lim_{n\to\infty}|x_n|=L0</math> אזי בהכרח . <math>\lim b_n = Lblacksquare</math>

ב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <font size=4 color=#a7adcdmath>'''דוגמא.''' \{x_n\}</fontmath>מצא את גבול הסדרה עבורה <math>(2^n+3^n)^{\fraclim\limits_{1n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math>אינו קיים.

'''פתרוןברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.'''

::==חוק הסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>3^\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\displaystyle\leq 2^n+3^lim_{n\leq 3^n+3^to\infty}a_n=\lim_{n \to\infty}c_n= 2L</math> אזי בהכרח <math>\cdot 3^lim_{n\to\infty}b_n=L</math>.

::<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>3=(3^n)^{\frac{1}{n}} \leq (2^n+3^n)^{\frac{1}{n}} \leq (2\cdot 3^n)^\frac{1}{n}=2^\frac{1}{n}\cdot 3frac1n</math>

:לכן,:<math>3=(3^n)^\lim frac1n\le(2^n+3^n)^\frac{1}frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3</math>כיון שמתקיים:<math>\lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1</math>

סה"כ שני צידי צדי אי השיוויון -השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדביץהסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3.

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' U5RUHjrHVGI</font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</mathvideoflash>

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאםדיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

<font size=4 color=#a7adcd3c498e>'''תרגילהגדרה.''' </font>מצא את גבול הסדרה תהא <math>a_n=</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\sqrt[in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n]{n!}>N_M</math>מתקיים <math>a_n>M</math> .

'''פתרון.''' נוכיח הערה: שימו לב כי סדרה <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוףלאורך הקורס.

:::ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>n!=1-\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots ninfty</math> (המקרה בו n אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו)עם שינויים קלים בהתאם.

:::<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>n!\geq \frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}a_n=(\frac{sqrt[n}{2})^{\frac]{n}{2}!}</math>

:::<math>\sqrt[n]{n!}\geq\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow\infty</math> קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.