שינויים

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי <math>1</math> נקראת האיבר האבר הראשון של הסדרה, התמונה של <math>2</math> היא האיבר האבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,\ldots</math>, (כך ש - <math>a_1,a_2,a_3,\ldots\in\R</math>).

<math>\bigg\{\frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac12,\frac14,\frac18,\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייקמדויק:

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה של סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\R</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים <math>N_\epsilonvarepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שכי <math>\epsilonvarepsilon>0</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_\epsilonvarepsilon\in\N</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיבריםהאברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

אם '''לכל''' אורך (<math>(\epsilonvarepsilon>0)</math>) [סיר]

'''קיים''' מקום בסדרה (<math>(N_\epsilonvarepsilon\in\N)</math>) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה והנקודה <math>L</math> קטן מהאורך <math>\epsilonvarepsilon</math> (<math>(|a_n-L|<\epsilonvarepsilon)</math>) [מתאים לו]

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הנו <math>1</math>. נוכיח זאת.

'''יהי''' <math>\epsilonvarepsilon>0</math>. (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעתים תכופות. מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' <math>\epsilonvarepsilon</math>, אם נוכיח אותה ל- <math>\epsilonvarepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לאחד ל-1 עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> . כלומר:

:<math>\biggleft|\fracdfrac{n-1}{n}-1\biggright|<\epsilonvarepsilon</math>

:<math>\biggleft|\fracdfrac{n-1}{n}-1\biggright|=\biggleft|-\frac1{n}frac1n\biggright|=\frac1{n}frac1n</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac1{n}dfrac1n<\epsilonvarepsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\frac1dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> .

נבחר, אפוא, <math>N_\epsilonvarepsilon>\frac1dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>n>N_\epsilonvarepsilon>\frac1dfrac1{\epsilonvarepsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל- <math>1</math> עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac13dfrac13</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות <math>1</math>. כעת, יהי <math>\epsilonvarepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי אברי הסדרה קרובים ל- <math>1</math> עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> . , כלומר, <math>|a_n-1|<\epsilonvarepsilon</math> .

זה שקול ל- <math>-\epsilonvarepsilon<a_n-1<\epsilonvarepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\epsilonvarepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כיון ש- <math>n\ge 1ge1</math> הצד השמאלי טריוויאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonvarepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonvarepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilonvarepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\epsilonvarepsilon)^n</math>

נביט בביטוי <math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=(1+\epsilonvarepsilon)\cdot(1+\epsilonvarepsilon)\cdots (1+\epsilonvarepsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\epsilonvarepsilon</math> כפול <math>\epsilonvarepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> איברים אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

:<math>(1+\epsilonvarepsilon)^n=\fracdfrac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2+K</math>

אם כך, <math>\fracdfrac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2<(1+\epsilonvarepsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\fracdfrac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2<(1+\epsilonvarepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

:<math>\begin{align}n<\frac{n(n-1)}{2}\epsilonvarepsilon^2</math> :<math>\\1<\frac{n-1}{2}\epsilonvarepsilon^2</math> :<math>\\n-1>\fracdfrac{2}{\epsilonvarepsilon^2}</math> :<math>\\n>1+\frac{2}{\epsilonvarepsilon^2}+1\end{align}</math>

אם כן, הוכחנו כי<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .

:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

'''שלילת הגבול.''' :<math>L </math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilonvarepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\epsilonvarepsilon</math> .

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> ממשי כלשהו. נניח עוד כי <math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).<br> ניקח <math>\epsilon varepsilon= 1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\epsilonvarepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\in\N</math> וניקח <math>n</math> אי-זוגי גדול ממנו.  במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\ge 1ge1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.)  <math>\blacksquare</math>

''';משפט.''' תהי תהיינה <math>a_n\lim\limits_{n\to L</math> (סדרה השואפת לגבול <math>L</math>) ותהי <math>b_n\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\to K\infty}b_n=B</math> . אזי:*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=LA\pm KB</math>*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=LA\cdot KB</math>*אם <math>KB\ne 0ne0</math> אזי <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{LA}{KB}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''פתרוןתרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> .

;פתרוןנחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> . נקבל ונקבל <math>a_n=\fracdfrac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math>. חזקות שליליות של <math>n</math> שואפות ל- <math>0</math> ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- <math>\frac36=\frac12</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

נניח <math>a_n\to 0to0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n:=a_n\cdot b_n</math>?

*<math>a_n=\frac{1}{n}frac1n,b_n=(-1)^n</math> אזי :<math>\displaystyle\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{(-1)^n}{n}=01</math>

*<math>a_n=\frac1{n}\ dfrac1n,\ b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי:<math>\displaystyle\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{Big[(-1)^n}=+1\Big]</math>(לא קיים גבול לסדרה זו)

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.''' </font>תהי סדרה <math>a_n\to 0to0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

:הוכח: <math>\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n\to )=0</math>

''';הוכחה.''' יהי <math>\epsilonvarepsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\biggBig|a_n\cdot b_n-0\biggBig|<\epsilonvarepsilon</math> .

:<math>|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot |b_n|\leq le M\cdot |a_n|</math>. מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n</math> שואפת ל- <math>0\to0</math>, יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\fracdfrac{\epsilonvarepsilon}{M}</math> (כיון ש- <math>\fracdfrac{\epsilonvarepsilon}{M}</math> הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<M\cdot\fracdfrac{\epsilonvarepsilon}{M}=\epsilonvarepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font><math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

''';פתרון.''' <math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math>

<math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1\cdot x_2times\cdots \times x_n} \le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>

<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\cdot a_2times\cdots \times a_n}=L</math> .

''';משפט.'''<br>תהי <math>\{a_n\}^\infty__{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\}^big\infty_}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

''';הוכחה:'''<br>נגדיר סדרה <math>\{b_mb_n\}^{\infty}_{n=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\fracdfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>. זוהי סדרה של סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\cdot b_2times\cdots \times b_n}=\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

<math>\displaystyle b_1\cdot b_2times\cdots \times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>

ולכן קיבלנו כי <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>

''';הוכחה:'''<br>

<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>תהי סדרה <math>\{x_n\}</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>_{n=1}^\infty\to a</math> .

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le 1le1</math>.

''';פתרון.'''<br>אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne 0ne0</math> נקבל <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math>.

אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\forall n>N_\varepsilon:\Bigg|\biggleft|\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}\biggright|-|L|\Bigg|\le \biggleft|\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\biggright|<\epsilon\ ,\ \forall n>N_\epsilonvarepsilon</math>.

נובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>(|L|-\epsilonvarepsilon)|x_n|\ ,\ \forall n>N_\epsilon</math>.

נניח כעת, בשלילה, כי <math>|L|>1</math>, ניקח <math>\epsilon varepsilon= |L|-1</math> ונקבל כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|\ ,\ \forall n>N_\epsilon</math>

בסתירה לכך ש- <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>

'''פתרוןב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.'''

;פתרוןנתבונן בסדרה <math>x_n=\left \{\begin{arraycases}{cl}1/n \dfrac1n& n~ \text{\rm odd}\\0 & n~{\rm text{ even}\\\end{arraycases}\right.</math>

ברור כי <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו - <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

==חוק הסנדביץהסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור בינהם ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\leq le b_n\leq le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim lim_{n\to\infty}c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim lim_{n\to\infty}b_n = L</math>.

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font>מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}frac1n</math>

 ''';פתרון.''' ::<math>3^n\leq 2le2^n+3^n\leq 3le3^n+3^n = 2\cdot 3cdot3^n</math>

כיוון שמתקיים ::<math>\lim 2^\frac{1}{n}=1</math>  סה"כ שני צידי צדי אי השיוויון -השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדביץהסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3.

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' U5RUHjrHVGI</font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</mathvideoflash>

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאםדיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

<font size=4 color=#a7adcd3c498e>'''תרגילהגדרה.''' </font>מצא את גבול הסדרה תהא <math>a_n=</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\sqrt[in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n]{n!}>N_M</math>מתקיים <math>a_n>M</math> .

'''פתרון.''' נוכיח הערה: שימו לב כי סדרה <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוףלאורך הקורס.

:::ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>n!=1-\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots ninfty</math> (המקרה בו n אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו)עם שינויים קלים בהתאם.

:::<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>מצא את גבול הסדרה <math>n!\geq \frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}a_n=(\frac{sqrt[n}{2})^{\frac]{n}{2}!}</math>

:::<math>\sqrt[n]{n!}\geq\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow\infty</math> קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.