שינויים

===ההגדרה המדוייקת המדויקת של סדרה===

בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדוייקת המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הינה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הינה הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי <math>1 </math> נקראת האיבר הראשון של הסדרה, התמונה של <math>2 </math> היא האיבר השני וכן הלאה.

תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...\ldots</math>, (כך ש <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots\in\mathbb{R}</math>).

<math>\bigg\{\frac{1}frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{4}frac14,\frac{1}{8}frac18,...\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

תהי <math>a_n</math> סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}>0</math> קיים <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math>.

 במקרה זה מסמנים <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}a_n=L</math>.

נתרגם את זה למילים. למדנו שנקודה <math>\epsilon>0L</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:  נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>a_n</math>

'''קיים''' מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math>) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה והנקודה <math>L </math> קטן מהאורך <math>\epsilon</math> (<math>|a_n-L|<\epsilon</math>) [מתאים לו]

מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\frac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו הנו <math>1</math>. נוכיח זאת.

'''יהי אפסילון גדול מאפס'''<math>\epsilon>0</math>. (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים לעתים תכופות. מכיוון מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' אפסילון<math>\epsilon</math>, אם נוכיח אותה לאפסילון ל- <math>\epsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי אפסילון<math>\epsilon</math> . כלומר:

::<math>\bigg|\frac{n-1}{n}-1\bigg|<\epsilon</math>

::<math>\bigg|\frac{n-1}{n}-1\bigg|=\bigg|-\frac{-1}frac1{n}\bigg|=\frac{1}frac1{n}</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac{1}frac1{n}<\epsilon</math>, . זה נכון אם"ם <math>n>\frac{1}frac1{\epsilon}</math>.

הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: <math>\lim_lim\limits_{n \rightarrow to\infty}\frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac{1}{3}frac13</math>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד<math>1</math>. כעת, יהי אפסילון כלשהו<math>\epsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי הסדרה קרובים לאחד ל- <math>1</math> עד כדי אפסילון<math>\epsilon</math> . כלומר, <math>|a_n-1|<\epsilon</math>.

כיוון כיון ש - <math>n\geq ge 1</math> הצד השמאלי טריוויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilon</math> 

נביט בביטוי <math>(1+\epsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון <math>\epsilon</math> כפול אפסילון <math>\epsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n </math> איברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math>. בסה"כ אנו מקבלים: ::<math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math>

:<math>(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math>

::<math>n<\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2</math>

::<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2</math>

::<math>n-1>\frac{2}{\epsilon^2}</math>

::<math>n>\frac{2}{\epsilon^2}+1</math>

וכמובן שכיוון ומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים מסוים בסדרה אי השיוויון -השוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

:::<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

 :L '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש - <math>|a_n-L|\geqge\epsilon</math>.

הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

נניח בשלילה שקיים גבול <math>L </math> ממשי כלשהו. נניח עוד כי <math>L </math> אי -שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). <br>ניקח <math>\epsilon = 1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' אפסילון<math>\epsilon</math>). כעת, יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> ניקח וניקח <math>n </math> אי -זוגי גדול ממנו. במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq ge 1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L </math> אינו שלילי.)<math>\blacksquare</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n\rightarrow to L</math> (סדרה השואפת לגבול <math>L</math>) ותהי <math>b_n\rightarrow to K</math> אזי:*<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}(a_n+\pm b_n)=L+\pm K</math>*<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K</math>*אם <math>K\neq ne 0</math> אזי <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{K}</math>

נחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math>. נקבל <math>a_n=\frac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math>. חזקות שליליות של <math>n </math> שואפות לאפס ל- <math>0</math> ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- <math>\frac{3}{6}frac36=\frac{1}{2}frac12</math>.

נניח <math>a_n\rightarrow to 0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n:=a_n\cdot b_n</math>?

::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>

*<math>a_n=\frac{1}frac1{n}\ ,\ b_n=n</math> אזי ::<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{n}{n}=1</math> *<math>a_n=\frac{1}{n},b_n=n^2((-1)^n+1)</math> אזי::<math>\not\exists\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}((-1)^n+1)</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)

תהי סדרה <math>a_n\rightarrow to 0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M </math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n </math> מתקיים <math>|b_n|<M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

:הוכח: <math>a_nb_na_n\rightarrow cdot b_n\to 0</math>

'''הוכחה.'''יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\bigg|a_nb_na_n\cdot b_n-0\bigg|<\epsilon</math>.

:<math>|a_nb_na_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot |b_n|\leq M\cdot |a_n|</math>. מכיוון מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n</math> שואפת לאפסל- <math>0</math>, יש מקום מסויים מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\frac{\epsilon}{M}</math> (כיוון כיון ש<math>\frac{\epsilon}{M}</math> הינו הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_nb_na_n\cdot b_n|<M\cdot\frac{\epsilon}{M}=\epsilon</math> כפי שרצינו.<math>\blacksquare</math>

<math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\frac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math> 

מצא את הגבול <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]</math> 

<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{1}frac1{\sqrt{n^2+1}+n}=0 </math>

==אי -שוויון הממוצעים==כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי -שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):

לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,...\ldots,x_n</math> מתקיים:

<math>\frac{n}{\frac{1}frac1{x_1}+\frac{1}frac1{x_2}+...\cdots+\frac{1}frac1{x_n}}\leq le \sqrt[n]{x_1x_2....x_1\cdot x_2\cdots x_n} \leq le \frac{x_1+x_2+...\cdots+x_n}{n}</math>

אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:<math>\lim_lim\limits_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_1\cdot a_2\cdots a_n}=L</math>.

'''משפט.'''<br>תהי <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\{\sqrt[n]{a_n}\}^\infty_{n=1}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

תהי '''הוכחה:'''<br>נגדיר סדרה <math>\{a_nb_m\}^\infty_{n=1}</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a__{n-=1}}</math> אזי הסדרה על-ידי <math>\{\sqrt[n]{a_n} \}^\infty_{nb_1=1}a_1</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: ו- <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}b_n=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>.זוהי סדרה של מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

'''הוכחה''' נגדיר סדרה <math>\{b_m\}^{\infty}_{n=1}</math> על ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>. זוהי סדרה של מספרים חיוביים ולכן על פי הטענה הקודמת מתקיים: <math>\lim_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{b_1b_2...b_1\cdot b_2\cdots b_n}=\lim_{n\rightarrow to\infty} b_n=\lim_{n\rightarrow to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.

<math>b_1b_2...b_1\cdot b_2\cdots b_n=\frac{a_1}{1} \cdot\frac{a_2}{a_1}...\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>

ולכן קיבלנו כי <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_lim\limits_{n\rightarrow to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math>. מש"ל.<math>\blacksquare</math>

כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{n}=1</math>. '''הוכחה'''

<math>\lim_{n\rightarrow to\infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n\rightarrow to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow to\infty} \frac{n}{n-1}=1</math>. מש"ל.<math>\blacksquare</math>

תהי <math>\{x_n\}</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>a</math>.

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim_lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\leq le 1</math>.

'''פתרון.''' אם אחרת, <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}x_n\neq =0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\lim_{nBigg|\to\infty}bigg|\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{bigg|-|L|\lim_{nBigg|\tole \infty}bigg|\frac{x_{n+1}}{x_n}-L\lim_{nbigg|<\toepsilon\infty}x_n}=,\frac{a}{a}=1\forall n>N_\epsilon</math>.

אחרת, נובע כי <math>\lim_{n\to\infty}x_n=0</math>.מאי שוויון המשולש נקבל <math>\left |\left |\frac{x_{n+1}}{x_n}\right |->(|L|-\right epsilon)|\leq \left |\frac{x_{n+1}}{x_n}-L\right |<\epsilon,~\ \forall n>N_\epsilon</math>.

נובע כי <math>|x_{n+1}|>(|L|-\epsilon)|x_n|,~\forall n>N_\epsilon</math>. נניח כעת, בשלילה, כי <math>|L|>1</math>, ניקח <math>\epsilon = |L|-1</math> ונקבל כי <math>|x_{n+1}|>|x_n|\ ,~\ \forall n>N_\epsilon</math>

בסתירה לכך ש - <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim_lim\limits_{n\to\infty}|x_n|=0</math>.<math>\blacksquare</math>