שינויים

 *<math>a_n=\frac{1}frac1{n}\ ,\ b_n=(-1)^n</math> אזי :<math>\lim_{n\rightarrowto\infty}a_nb_n(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\rightarrowto\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>

*<math>a_n=\frac{1}frac1{n}\ ,\ b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי:<math>\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\big(bigg[(-1)^n+1\big)bigg]</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)

ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

נתבונן בסדרה <math>x_n=\left \{\begin{array}{cl}1/\frac1{n } & n~ {\rm odd}\\0 & n~{\rm even}\\\end{array}\right.</math>

ברור כי <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו - <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

==חוק הסנדביץהסנדוויץ'==הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור בינהם ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\leq le b_n\leq le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim a_n=\lim c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim b_n = L</math>.

 ::<math>3^n\leq le 2^n+3^n\leq le 3^n+3^n = 2\cdot 3^n</math>

כיוון שמתקיים ::<math>\lim 2^\frac{1}{n}=1</math>  סה"כ שני צידי צדי אי השיוויון -השוויון מתכנסים ל-<math>3 </math> ואז לפי חוק הסנדביץהסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-<math>3</math>.

דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוייםמסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוייםמסוים.

תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math>.

הערה: שימו לב ש-<math>M </math> בדומה לאפסילון ל- <math>\epsilon</math> מודד מרחק, אך מכיוון מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M </math> ולא באות אפסילון<math>\epsilon</math>. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף ל- <math>-\infty</math> דומה עם שינויים קלים בהתאם.

 :::<math>n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots n</math> (המקרה בו <math>n </math> אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו). *נקטין את החצי הראשון של האיברים להיות <math>1</math>, ואת החצי השני של האיברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל: :::<math>n!\geq ge\frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}=\bigg(\frac{n}{2}\bigg)^{\frac{n}{2}}</math> 

 :::<math>\sqrt[n]{n!}\geqge\sqrt[n]{\bigg(\frac{n}{2}\bigg)^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrowto\infty</math>