הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==גבול עליון וגבול תחתון== למדנו על חסמים על מנת ...")
 
(←‏גבול עליון וגבול תחתון)
שורה 34: שורה 34:
  
 
באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
 
באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
 +
  
  
שורה 39: שורה 40:
 
'''העשרה:''' סדרה הינה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\mathbb{N}\times A</math>. אם כך, אנו מגדירים  
 
'''העשרה:''' סדרה הינה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\mathbb{N}\times A</math>. אם כך, אנו מגדירים  
 
<math>b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big] </math>
 
<math>b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big] </math>
 +
 +
 +
 +
<font size=4 color=#a7adcd>
 +
'''דוגמאות.'''
 +
</font>
 +
 +
*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>. נבנה את סדרת החסמים <math>b_i</math>:
 +
 +
::<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>
 +
::<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>
 +
::::<math>\vdots</math>
 +
 +
 +
 +
ולכן הגבול העליון הינו
 +
::<math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i=1</math>
 +
 +
 +
נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math>:
 +
 +
::<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>
 +
::<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>
 +
::::<math>\vdots</math>
 +
 +
 +
ולכן הגבול התחתון הינו
 +
::<math>\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}c_i=-1</math>
 +
 +
 +
 +
*נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math>.
 +
 +
::<math>b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=1</math>
 +
 +
::<math>b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}</math>
 +
 +
::<math>b_3=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{3}</math>
 +
 +
:::<math>\vdots</math>
 +
 +
::<math>b_i=\frac{1}{i}</math>
 +
 +
 +
ולכן הגבול העליון הינו <math>\lim b_i=0</math>
 +
 +
::<math>c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
 +
 +
::<math>c_2=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
 +
 +
::<math>c_3=\inf\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
 +
 +
:::<math>\vdots</math>
 +
 +
::<math>c_i=0</math>
 +
 +
 +
ולכן הגבול התחתון הינו <math>\lim c_i = 0</math>
 +
 +
==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==

גרסה מ־19:55, 10 בנובמבר 2011

גבול עליון וגבול תחתון

למדנו על חסמים על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...

החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.


הגדרה.

נגדיר

b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...\}
b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\}
b_3=\sup\{a_3,a_4,...\}
\vdots
b_i=\sup\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},...\}


כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.

אם כך, סדרת החסמים b_i מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים \lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\}

נגדיר את הגבול העליון של הסדרה a_n להיות

\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i

במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".


באופן דומה, הגבול התחתון הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.



העשרה: סדרה הינה פונקציה a_n=a(n) מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם a\subseteq\mathbb{N}\times A. אם כך, אנו מגדירים b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big]


דוגמאות.

  • נביט בסדרה a_n=(-1)^n. נבנה את סדרת החסמים b_i:
b_1=\sup\{-1,1\}=1
b_2=\sup\{-1,1\}=1
\vdots


ולכן הגבול העליון הינו

\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i=1


נביט כעת בסדרת החסמים c_i:

c_1=\inf\{-1,1\}=-1
c_2=\inf\{-1,1\}=-1
\vdots


ולכן הגבול התחתון הינו

\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}c_i=-1


  • נביט בסדרה a_n=\frac{1}{n}.
b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=1
b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}
b_3=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{3}
\vdots
b_i=\frac{1}{i}


ולכן הגבול העליון הינו \lim b_i=0

c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0
c_2=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0
c_3=\inf\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0
\vdots
c_i=0


ולכן הגבול התחתון הינו \lim c_i = 0

הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/סדרות/גבול_עליון_ותחתון&oldid=15878