שינויים
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
==גבול עליון וגבול תחתון==
למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על -מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:
החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.
;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
נגדיר
כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' אברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק אבר.
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמאות.</font>
*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> . נבנה את סדרת החסמים <math>b_k</math> :
:<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>
:<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>
::::<math>\vdots</math>
ולכן הגבול העליון הנו <math>\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}b_i=1</math>
נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math> :
:<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>
:<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>
::::<math>\vdots</math>
ולכן הגבול התחתון הנו <font sizemath>\liminf_{n\to\infty}a_n:=4 color\lim\limits_{i\to\infty}c_i=#a7adcd-1</math>'''דוגמאות *נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> .''' :<math>b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1</math> :<math>b_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2}</fontmath>
::::<math>\vdots</math>
:<math>b_i=\frac{1}{i}</math>
ולכן הגבול העליון הנו <math>\lim\limits_{i\to\infty}b_i=0</math>
:<math>c_2=\inf\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>
::::<math>\vdots</math>
:<math>c_i=0</math>
ולכן הגבול התחתון הינו::הנו <math>\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=lim\lim_limits_{i\rightarrowto\infty}c_i=-10</math>
==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==
'''משפט.''' לכל סדרה יש תת-סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.
לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.
2. <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>
2. הפרכה פשוטה: <math>a_n=(-1)^n</math>
לכן , לפי סעיף א', :<math>\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>:<math>-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>:<math>\liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\to\infty}(-b_n)</math> <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת:<math>\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0</math>הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big]</math> ;הוכחה*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A. *כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf_{n\to\infty}a_n\in A</math> *כיון שהגבול החלקי העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקייםהגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>. *נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה *אזי קיימת סביבת אפסילון של c, '''המוכלת ממש בקטע''', בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה *נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקייםלא ישתנו כמובן. *כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ <math>c-\epsilon</math> וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ<math>c+\epsilon</math> *כיוון שנתון <math>\lim|a_{n+1}-a_n|=0</math> קיים <math>n_{2\epsilon}</math> כך שלכל <math>n>n_{2\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_{n+1}-a_n|<2\epsilon</math> *ניקח שני איברים <math>a_m,a_{m+k}</math> האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי <math>m>n_{2\epsilon}</math> (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות) *נוציא מבין <math>a_m,a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k}</math> זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל *המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ-<math>2\epsilon</math> בסתירה. <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> תהיינה <math>a_n,b_n</math> סדרות חסומות. הוכיחו כי: ::<math>\liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n+b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n</math> '''הוכחה.''' הצד הימני של אי השיוויון: *קיימת לסדרה <math>a_n+b_n</math> תת סדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> המתכנסת לגבול החלקי העליון <math>\lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n+b_n</math> *(שימו לב שתת הסדרה <math>a_{n_k}</math> לא בהכרח מתכנסת.) *תת הסדרה <math>a_{n_k}</math> חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>. *כיוון שתת הסדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן <math>\lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n</math> *ביחד, אנו מקבלים כי <math>\lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}}</math> (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות). *כלומר, הראנו כי תת הסדרה <math>b_{n_{k_j}}</math> מתכנס. *ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן <math>\lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n</math> וכמו כן <math>\lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n</math> *ביחד מקבלים <math>\limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>, כפי שרצינו. הצד השמאלי של אי השיוויון: *קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>b_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math> *תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math> *ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן <math>\liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}}</math> *כמו כן, כיוון שהסדרה <math>b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול.כלומר <math>\lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n</math>
*ביחד מקבלים כי <math>\liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>